Chuyên đề 4: Tích phân

x 2           2 sin x 0 2 1 12e x sin2x 2 2 0    e 1 2 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 149 Bài 8: ĐỀ DỰ BỊ 2 Tính tích phân:    2 0 I x sin xdx . Giải    2 0 I x sin xdx . Đặt t = x  t 2 = x  2tdt = dx Đổi cận x 0  2 t 0     2 0 I 2 t sin tdt . Đặt     2 u t dv sin tdt      du 2tdt v cost        2 2 1 0 I 2(t cost) 4 t costdt 2 4I 0  Tính   1 0 I t costdt Đặt    u t dv costdt     du dt chọnv sin t       1 0 I t sin t sin tdt cost 2 0 0 . Vậy I = 2 2 – 8 Bài 9: ĐỀ DỰ BỊ 1 Tính tích phân:   1 2 3 x 0 I x e dx Giải Tính    1 1 2 2 3 x 2 x 0 0 I x e dx x e xdx Đặt t = x 2  dt = 2xdx   dt xdx 2 . Đổi cận: x 0 1 t 0 1                 1 1 1 1 t t t t t 0 00 0 1 1 1 1 I te dt te e dt te e 2 2 2 2 Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ 2 Tính tích phân:       0 2x 3 1 I x e x 1 dx . Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 150 Giải Tính              0 0 0 2x 2x3 3 1 1 1 I x e x 1 dx x.e .dx x x 1dx  Tính    0 2x 1 1 I xe dx . Đặt        2x2x du dx u x 1 chọnv edv e dx 2                     00 0 0 0 x 2x 2x 2x 1 1 2 1 11 1 1 1 1 1 3 1 I uv vdu x.e e dx x.e .e 2 2 2 4 44e  Tính    0 3 2 1 I x x 1dx Đặt       3 23t x 1 t x 1 3t dt dx . Đổi cận: x 1 0 t 0 1                     1 1 1 7 4 3 3 6 3 2 0 0 0 t t 9 I t 1 .t.3t dt 3 t t dt 3 7 4 28 Vậy I = I1 + I2 =     2 2 3 1 9 3 4 4 28 74e 4e Bài 11: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG Tính tích phân:    4 2 0 1 sin2x dx cos x Giải I =    4 2 0 1 sin2x dx cos x = 4 4 2 2 0 0 1 sin2x dx dx cos x cos x     24 2 0 4 d(cos x) tan x dx cos x 0     . =    2tan x ln(cos x)4 4 0 0 = 1 + ln2 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 151  Vấn đề 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍNH DIỆN TÍCH Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a, b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là:    b b a a S f(x)dx f(x) dx Từ bài toán 1 suy ra nếu f(x) không dương trên đoạn [a, b]     b b a a S f(x)dx f(x) dx Bài toán 2: (Tổng quát) Cho hai hàm số y1 = f(x), y2 = g(x) liên tục trên đoạn [a, b] và có đồ thị lần lượt là (C1), (C2). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2) và hai đường x = a, x = b được xác định bởi công thức:   b a S f(x) g(x) dx (*) * Phương pháp giải (*):  Giải phương trình: f(x) = g(x) (1)  Nếu (1) vô nghiệm thì:   b a S (f(x) g(x))dx  Nếu (1) có nghiệm thuộc [a, b] giả sử là    , ( ) thì                  b a S (f(x) g(x) dx (f(x) g(x) dx (f(x) g(x) dx Bài toán 3: Cho 1 1 2 2 (C ) : x f(y), (C ) : x g(y), f(y), g(y)  liên tục trên đoạn [a, b]. Diện tích hình phẳng S được giới hạn bởi (C1); (C2) và hai đường thẳng y = a, y = b được xác định bởi công thức:   b a S f(y) g(y) dy y 0 x = a x = b y = f(x) y x = a x = b y = f(x) S 0 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 152 THỂ TÍCH CÁC VẬT THỂ I. CÔNG THỨC THỂ TÍCH Giả sử vật thể T được xác định bởi 2 mặt phẳng  ( ) và ( ) song song với nhau. Ta chọn trục Ox sao cho nó vuông góc với các mặt phẳng ( và (). Ta có Ox  () = A, Ox  () = B. Giả sử mặt phẳng ( ( ) Ox, ( ) Ox C,     () cắt vật thể T có thiết diện là S(x). Khi đó   b a V S(x)dx II. BÀI TOÁN Bài toán 1: Giả sử hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), x = a, x = b và y = 0 quay quanh Ox. Hình tròn S(x) có bán kính R = y:   2S(x) y   b 2 a V y dx Bài toán 2: Thể tích do hình phẳng: x = g(y), x = 0, y = a, y = b quay quanh trục Oy:   b 2 a V x dy Bài toán 3: Tính thể tích vật thể do hình phẳng giới hạn hai đường cắt nhau quay quanh Ox: 1 2 2 1 y f(x), y g(x) y y 0 x [a, b]          b 2 2 2 1 a V (y y )dx Bài toán 4: Tính thể tích vật thể do hình phẳng giới hạn hai đường cắt nhau quay quanh Ox. 1 2 1 2 y f(x),y g(x) y y 0 x [a,b]          b 2 2 1 2 a V (y y )dx x y O A C B    a b x S(x) x y O y x a y = f(x) S(x) b O x y a b x x = g(y) x O a b y g(x) = y2 f(x) = y1 x y g(x) = y2 f(x) = y1 O a b TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 153 B. ĐỀ THI Bài 1: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): x = x 2 + 4x và đường thẳng d: y = x. Giải Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d:      2x 4x x x 0 hayx 3                  3 3 3 2 3 3 0 0 3x 3x 9 S x 3x dx ( x 3x)dx 03 2 2 (đvdt) Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = (e + 1)x, y = (1 + e x )x Giải Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là: (e + 1)x = (1 + e x )x  (e x  e)x = 0  x = 0 hoặc x = 1 Diện tích của hình phẳng cần tìm là:      1 1 1 x x 0 0 0 S dx e xdx xe dxxe ex Ta có:          1 1 1 12 1 1 x x x x 0 0 0 0 00 ex e e xdx , xe dx xe e dx e e 1 2 2 Vậy   e S 1 2 (đvdt). Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y = xlnx, y = 0, x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox. Giải Phương trình hoành độ giao điểm của các đường y = xlnx và y = 0 là: xlnx = 0  x = 1 Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục hoành là:     e e 2 2 1 1 V y dx (x lnx) dx Đặt u = ln 2 x, dv = x 2 dx    3 2lnx x du dx, v . x 3 Ta có:       e e e e3 3 2 2 2 2 1 1 11 x 2 e 2 (x lnx) dx ln x x lnxdx x lnxdx 3 3 3 3 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 154 Đặt u = lnx, dv = x 2 dx    3 dx x du , chọnv . x 3 Ta có:        e e e e3 3 3 3 2 2 1 11 1 x 1 e x 2e 1 x lnxdx lnx x dx 3 3 3 9 9 Vậy    3 (5e 2) V 27 (đvtt). Bài 4: ĐỀ DỰ BỊ 2 - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi paraol y = x 2 – x + 3 và đường thẳng d: y = 2x + 1. Giải Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và d: x 2 – x + 3 = 2x + 1  x2 – 3x + 2 = 0  x = 1  x = 2 Ta có          2 2 2 2 1 1 S (x x 3) (2x 1)dx x 3x 2 dx                 2 3 2 2 1 2x 3x 1 ( x 3x 2)dx 2x 13 2 6 (đvdt) Bài 5: ĐỀ DỰ BỊ 1 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra trong phép quay xung quanh trục Ox, của hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đường y = x sinx (0  x  ) Giải V =                  2 2 0 0 0 f x dx x.sin xdx x 1 cos2x dx 2 =           0 0 xdx x.cos2xdx 2 Tính : I1 =     2 2 0 0 x xdx 2 2 . Tính : I2 =   0 x cos2xdx Đặt          du dx u x 1 dv cos2xdx chọnv sin2x 2 I2 =            0 0 x 1 x 1 sin2x sin2xdx sin2x cos2x 0 2 2 2 4 V =           2 3 0 2 2 4 (đvtt) TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 155 Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:   2y x 4x 3 và y = x + 3 . Giải                  5 3 2 2 0 1 S x 3 x 4x 3 dx 2 x 4x 3 dx            5 3 2 2 0 1 S x 5x dx 2 x 4x 3 dx                     3 2 3 2 5 3x 5x x S 2 2x 3x 0 13 2 3  109 S 6 (đvdt) Bài 7: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:   2 2 x x y 4 và y = 4 4 2 Giải Ta có            2 2 2 2 2 2 2x x x x y y 4 y 4 y 4 1 (E) 4 4 4 16 4 Phương trình hoành độ giao điểm:      2 2 2 4 x x x x 4 4 4 4 324 2  4 2 2 2x 8x 128 0 x 8 x 16         (loại)  x =  2 2 Nên S =                     2 2 2 2 2 22 2 2 2 0 02 2 x x x x 4 dx 2 4 dx dx 4 44 2 4 2 Tính   2 2 2 1 0 x I 4 dx 4 Đặt x = 4sint  dx = 4costdt Đổi cận       t = x 2 2 4 x 0 t 0 x y 1 1 1 O 1 3 3 8 5 y = x + 3 y = 2 x 4 2 x y 2 4 4 O y = 2 4 x 4  Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 156                     4 4 2 4 1 0 0 1 I 8cos tdt 4 1 cos2t dt 4 t sin2t 2 2 0    2 2 2 3 2 0 x x 42 2 I dx 34 2 12 2 0 Vậy   4 S 2 đvdt 3         . Bài 8: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P1): y = x 2  2x và (P2) : y = x 2 + 4x. Giải Phương trình hoành độ giao điểm của (P1) và (P2) là: x 2  2x =  x 2 + 4x  2x 2 + 6x = 0  2x(x  3) = 0  x = 0  x = 3. Diện tích cần tìm:          3 3 2 2 2 0 0 S (( x 4x) (x 2x))dx ( 2x 6x)dx =       3 2 32 x 3x 03 = 9 (đvdt) Bài 9: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = 7 – 2x2, y = x2 + 4. Giải Phương trình hoành độ giao điểm 7 – 2x2 = x2 – 4  3x 2 = 3  x = 1 hoặc x = 1 Diện tích S cần tìm           1 1 2 2 2 1 1 S (7 2x x 4)dx (3 3x )dx 4 (đvdt)