Chuyên đề 11: Đại số tổ hợp và xác suất

Dựa vào bảng Pascal ta có thể viết ngay được khai triển Niutơn. B. ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008 Cho khai triển (1 + 2x) n = a0 + a1x + + anx n , trong đó n  N * và các hệ số a0, a1, , an thỏa mãn hệ thức     1 n 0 n a a a ... 4096 2 2 . Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1, , an. Giải Từ khai triển: (1 + 2x) n = a0 + a1x + + anx n  Chọn  1 x 2 ta được:        n 121 n 0 n a a 2 a ... 4096 2 n 12 2 2  Vậy biểu thức khai triển là: (1 + 2x) 12  Số hạng tổng quát là k k k 12 C 2 .x (k  , 0  k  12)  hệ số tổng quát là  k k k 12 a 2 .C ;     k 1 k 1 k 1 12 a 2 .C ak < ak + 1   k k k 1 k 1 12 12 2 .C 2 .C       k k 112! 12! 2 . 2 . k!(12 k)! (k 1)!(12 k 1)!  k + 1 < 24 – 2k   23 k 3 Mà k  . Do đó: a0 < a1 < a2 < < a8 Tương tự: ak > ak + 1  k > 7 Do đó: a8 > a9 > > a12 Số lớn nhất trong các số a0, a1, , a12 là:   8 8 8 12 a 2 .C 126720 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 306 Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức    1 3 2n 1 2n 2n 2n C C ... C 2048 ( k n C là số tổ hợp chập k của n phân tử). Giải    1 3 2n 1 2n 2n 2n C C ... C 2048 (*) Ta có:            2n 0 1 2 2 3 3 2n 1 2n 1 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 1 x C C x C x C x ... C x C x Với x = 1 thay vào (*) ta được:      2n 0 1 3 2n 1 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2 C C C ... C C (1) Với x = 1 thay vào (*) ta được:       0 1 2 3 2n 1 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 0 C C C C ... C C (2) Lấy (1) trừ (2) ta được:         2n 1 3 2n 1 122n 2n 2n2 2 C C ... C 4096 2 n 6 Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007 Chứng minh rằng:        2n 1 3 5 2n 1 2n 2n 2n 2n 1 1 1 1 2 1 C C C .... C 2 4 6 2n 2n 1 (n là số nguyên dương, k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). Giải Ta có:          2n 0 1 2n 2n 2n 0 1 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n (1 x) C C x .... C x ,(1 x) C C x .... C x         2n 2n 1 3 3 2n 1 2n 1 2n 2n 2n (1 x) (1 x) 2(C x C x .... C x )             1 12n 2n 1 3 3 5 5 2n 1 2n 1 2n 2n 2n 2n 0 0 (1 x) (1 x) dx (C x C x C x ... C x )dx 2              11 2n 2n 2n 1 2n 1 2n 00 (1 x) (1 x) (1 x) (1 x) 2 1 dx 2 2(2n 1) 2n 1 (1)        1 1 3 3 5 5 2n 1 2n 1 2n 2n 2n 2n 0 C x C x C x ... C x dx             1 2 4 6 2n 1 3 5 2n 1 2n 2n 2n 2n 0 x x x x C . C . C . ... C . 2 4 6 2n    1 3 5 2n 1 2n 2n 2n 2n 1 1 1 1 C C C ..... C 2 4 6 2n (2) Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 307 Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007 Tìm hệ số của số hạng chứa x 10 trong khai triển nhị thức Niutơn của (2 + x) n , biết:         n 0 n 1 1 n 2 2 n 3 3 n n n n n n n 3 C 3 C 3 C 3 C ... ( 1) C 2048 (n là số nguyên dương, k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). Giải Ta có:         n 0 n 1 1 n 2 2 n n n n n n n n 3 C 3 C 3 C .... ( 1) C (3 1) 2 Từ giả thiết suy ra n = 11 Hệ số của số hạng chứa x 10 trong khai triển Niutơn của (2 + x) 11 là: 10 1 11 C .2 22 Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 Tìm hệ số của x 5 trong khai triển thành đa thức của: x(1 –2x)5 + x2(1 + 3x)10 Giải Hệ số của x 5 trong khai triển của x(1  2x) 5 là (2) 4 . 4 5 C Hệ số của x 5 trong khai triển của x 2 (1 + 3x) 10 là 3 3 3 10 C Hệ số của x 5 trong khai triển của x(1  2x) 5 + x 2 (1 + 3x) 10 là:   4 4 3 3 5 10 ( 2) C 3 C 3320 Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 Tìm hệ số của số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức Niutơn của       n 7 4 1 x x biết rằng        1 2 n 20 2n 1 2n 1 2n 1 C C ... C 2 1 (n nguyên dương, k n C là số tổ hợp chập k của n phân tử). Giải  Từ giả thiết suy ra:       0 1 n 20 2n 1 2n 1 2n 1 C C ... C 2 (1) Vì        k 2n 1 k 2n 1 2n 1 C C k, 0 k 2n +1 nên:             0 1 n 0 1 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 11C C ... C C C ... C 2 (2). Từ khai triển nhị thức Niutơn của  2n 1(1 1) suy ra:            0 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 C C ... C (1 1) 2 (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra : 2n 202 2 hay n = 10.  Ta có:                    10 10 10 10 k k 7 k 4 7 k 11k 40 10 104 k 0 k 0 1 x C x x C x x Hệ số của x 26 là k 10 C với k thỏa mãn: 11k  40 = 26  k = 6. Vậy hệ số của số hạng chứa x 26 là : 6 10 C 210 . Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 308 Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005 Tìm số nguyên dương n sao cho:            1 2 2 3 3 4 2n 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 C 2.2C 3.2 C 4.2 C .... (2n 1).2 C = 2005 ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử ) Giải Ta có:                   2n 1 0 1 2 2 3 3 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 1 x C C x C x C x ... C x x Đạo hàm hai vế ta có:                2n 1 2 3 2 2n 1 2n 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 (2n 1) 1 x C 2C x 3C x ... (2n 1)C x x Thay x = 2 ta có:              1 2 2 3 4 n 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 C 2.2C 3.2 C 4.2C ... (2n 1).2 C 2n 1 Theo giả thiết ta có 2n + 1 = 2005  n = 1002. Bài 8: Tìm hệ số của x 8 trong khai triển thành đa thức của      8 2 1 x 1 x . Giải                    2 32 8 0 1 2 2 4 3 6 8 8 8 8 1 x 1 x C C x 1 x C x 1 x C x 1 x . . .    88 16 8 . . . + C x 1 x Số hạng chứa x 8 trong khai triển chỉ có trong   33 6 8 C x 1 x và   44 8 8 C x 1 x . Suy ra hệ số của  8 3 4 8 8 x là 3C C 238 . Bài 9: Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của       7 3 4 1 x x với x > 0. Giải                       7 k k7 k7 7 7 k k k3 3 3 4 7 74 4 k 0 k 0 1 1 x C x C x x x Số hạng không chứa x ứng với    7 k k 0 3 4  28  4k  3k = 0  k = 4 Số hạng không chứa x là  k 7 7! C 35 3!4! . Bài 10: Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển nhị thức Niutơn của             n 5 n 1 n n 4 n 33 1 x biết rằng C C 7(n 3) x (n là số nguyên dương, x > 0, k n C là số tổ hợp chập k của n phân tử). TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 309 Giải                     n 1 n n 4 n 3 n + 4 ! n 3 ! C C 7 n 3 7 n 3 n 1 !3! n!3!  (n + 3) (3n  36) = 0  n = 12 Vậy                    12 k12 12 5k 5 k 3 2 123 k 0 1 x C x x x Cho            12 k 5k 3 82x x x x  0      5 12 k 3k 2 = 8  k = 4 Vậy hệ số của x 8 trong khai triển       12 5 3 1 x x là 4 12 C 495 . Bài 11: Cho n là số nguyên dương. Tính tổng:         2 3 n 1 0 1 2 n n n n n 2 1 2 1 2 1 C C C ... C 2 3 n 1 ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). Giải Xét        n 0 1 2 2 n 4 n n n n 1 x C C x C x ... C x             2 2 n 0 1 2 2 n n n n n n 1 1 1 x dx C C x C x ... C x dx                 n 1 2 3 n 1 0 1 2 n n n n n 2 21 x x x x C x C C ... C 1 1n 1 2 3 n 1               n 1 n 1 2 3 n 1 0 1 2 n n n n n 3 2 2 1 2 1 2 1 C C C ... C n 1 2 3 n 1 . Bài 12: Với n là số nguyên dương, gọi a3n3 là hệ số của x 3n3 trong khai triển thành đa thức của: (x 2 + 1) n (x + 2) n . Tìm n để a3n 3 = 26n. Giải             n n n n 2 2 k 2n 2k h n h h n n k 0 h 0 x 1 x 2 C x C x 2      n n k h 3n (2k h) n n k 0 h 0 C C x Ycbt  2k + h = 3  k = h = 1 hay (k = 0 và h = 3)       1 1 3 0 3 3n 3 n n n n a 2C C 2 C C 26n n = 5 . Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 310 Bài 13: Cho khai triển nhị thức:         n n n 1 x xx 1 x 1x 1 0 1 n n3 32 22 C C . . . + 2 22 2 2              n 1 n x xx 1n 1 n n n3 32 C C 2 2 2      (n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó 3 1 n n C 5C và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm n và x. Giải Ta có             + 3 1 n n n Z , n 3 C 5C n = 7 V n = 4 (loại) n 2 (n 1) 30 Số hạng thứ tư bằng 20n nên ta có     34 xx 13 7 32 C 140 2 2       x 2 22 4 2  x  2 = 2  x = 4. Bài 14: Tìm số nguyên dương n sao cho     0 1 2 n n n n n n C 2C 4C ... 2 C 243 . Giải     0 1 2 n n n n n n C 2C 4C ... 2 C 243 (*) Ta có        n 0 1 2 2 n n n n n n 1 x C xC x C ... x C (* *) Thế x = 2 vào (* *) ta có:         n 0 1 2 n n n n n n 1 2 C 2C 4C ... 2 C 243 3 n = 243  n = 5. Bài 15: Giả sử n là số nguyên dương và          n 2 k n 0 1 2 k n 1 x a a x a x ... a x ... a x Biết rằng tồn tại số k nguyên (1  k  n  1) sao cho    k k k 1 a 1 a a 2 9 24 . Hãy tính n. Giải Ta có: (1 + x) n = a0 + a1x + a2x 2 + + akx k + + anx n Vì         k 1 k k 1 k 1 k k 1 n n n a a a C C C 2 9 24 2 9 24                              k k 1 n n k k 1 n n C C 2n 2 k 2 n k 1 9k 9 2 11 3n 83 n k 8 k 1C C k 11 9 24  3n – 8 = 2n + 2  n = 10