Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số

      A B m x x 2 3     22 A B m x x 12   2 2 m 8 m 12 4    m 4 + 8m 2  48 = 0  m 2 = 4  m =  2. Bài 4 : ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y =  2x + m cắt đồ thị hàm số TTLT ĐH VĨNH VIỄN 65 2 x x 1 y x    tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung. Giải Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng y =  2x + m là: 2 x x 1 2x m x       x 2 + x – 1 = x(– 2x + m) (vì x = 0 khômg là nghiệm)  3x 2 + (1 – m)x – 1 = 0 (1)  Vì a.c < 0 nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt  0 Do đó đồ thị và đường thẳng y =  2x + m luôn cắt nhau tại điểm phân biệt A, B  Gọi I là trung điểm của AB, ta có A B I x x b m 1 x 2 2a 6       Theo giả thiết ta có I  Oy  xI = 0  m = 1 Bài 5 : ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009 Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y =  x + m cắt đồ thị hàm số 2 x 1 y x   tại 2 điểm phân biệt A, B, sao cho AB = 4. Giải Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng y =  x + m là :     2 x 1 x m x  2x 2 – mx – 1 = 0 (*) (vì x = 0 không là nghiệm của (*))  Vì 2.(1) < 0 nên phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Do đó đồ thị và đường thẳng y =  x + m luôn cắt nhau tại điểm phân biệt A, B.  Vì A, B thuộc đường thẳng y =  x + m nên yA =  xA + m và yB =  xB + m. Do đó A(xA;  xA + m ); B(xB;  xB + m ) với xA, xB là nghiệm của phương trình (*) Ta có : AB = 4  (xB – xA) 2 + [(– xB + m) – (– xA + m)] 2 = 16  2(xB – xA) 2 = 16  (xB – xA) 2 = 8  2 m 8 8 4    m = 2 6 . Bài 6 : ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 Cho hàm số y = x 4 – (3m + 2)x2 + 3m có đồ thị là (Cm), m là tham số. Tìm m để đường thẳng y = –1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. Giải Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y = 1 là : Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 66 x 4 – (3m + 2)x2 + 3m =  1  x 4 – (3m + 2)x2 + 3m + 1 = 0  x = 1 hay x2 = 3m + 1 (*) Đường thẳng y = 1 cắt (Cm) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2  Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 và nhỏ hơn 2  0 3m 1 4 3m 1 1        1 m 1 3 m 0        . Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008 Cho hàm số y = x 3 – 3x2 + 4 (1) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k > –3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Giải Gọi d là đường thẳng qua I(1; 2) có hệ số góc k (k > 3) d: y = k(x – 1) + 2 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là: x 3 – 3x2 + 4 = k(x – 1) + 2  (x – 1)(x2 – 2x – k – 2) = 0 (*)  I 2 x 1 x g(x) x 2x k 2 0 (1)            Do k > 3 nên phương trình (1) có: 3 k 0 g(1) k 3 0          .  Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 khác 1  Phương trình (*) luôn có 3 nghiệm phân biệt  Đường thẳng d luôn cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, I  Mặt khác A B 1 2 I x x x x 1 x 2 2 A, B, I thẳng hàng          I là trung điểm của đoạn thẳng AB (Điều phải chứng minh). Bài 8 : CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008 Cho hàm số   x y x 1 . Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt. Giải Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là: TTLT ĐH VĨNH VIỄN 67 x x m x 1      x = (x + m)(x – 1) (vì x = 1 không phải là nghiệm)  x 2 – mx + m = 0 (*) d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt  (*) có 2 nghiệm phân biệt   > 0  m 2 – 4m > 0  m 4. Bài 9: CAO ĐẲNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI KHỐI A, D NĂM 2007 Cho hàm số : y = (x – 1)(x2 – 2mx – m – 1) (1) (m là tham số) Định m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1. Giải Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục Ox là: (x – 1)(x2 – 2mx – m – 1) = 0  x = 1 hay f(x) = x2 – 2mx – m – 1 = 0 (2) Cách 1: Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1  Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1 và khác 1  2 m m 1 0 S m 1 2 f( 1) m 0 f(1) 3m 0                      m > 0. Cách 2: Đặt t = x + 1. Phương trình (2) trở thành: (t – 1)2 – 2m(t – 1) – m – 1 = 0  g(t) = t2 – 2(1 + m)t + m = 0 (3) Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1  Phương trình (2) có 2 nghiệm x phân biệt lớn hơn 1 và khác 1  Phương trình (3) có 2 nghiệm t phân biệt lớn hơn 0 và khác 2  2 m m 1 0 S 2(1 m) 0 P m 0 g(2) 3m 0                    m > 0. Bài 10: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 Cho hàm số: y = x 3  3x + 2 có đồ thị (C). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M(3; 20) và có hệ số góc là m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt. Giải Phương trình đường thẳng d là y = m(x  3) + 20 Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là: Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 68 3 2 x 3x 2 m(x 3) 20 (x 3)(x 3x 6 m) 0           Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi: 2 f(x) x 3x 6 m    có hai nghiệm phân biệt khác 3.  15 9 4(6 m) 0 m 4 f(3) 24 m 0 m 24               Bài 11: ĐỀ DỰ BỊ 1 Cho hàm số y = x 4  mx 2 + m  1 (1) (m là tham số). Xác định m sao cho đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Giải  Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị của hàm số (1) và trục Ox là: x 4 – mx 2 + m – 1 = 0 (*) Đặt t = x 2  0. Phương trình (*) trở thành: t 2 – mt + m – 1 = 0 (**)  Đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt  Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt  Phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt dương   20 m 4 m 1 0 m 1 S 0 m 0 m 2 P 0 m 1 0                  Vấn đề 12: TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1/ Điểm A(x; y) đối xứng với điểm B qua gốc tọa độ O  B(x; y). 2/ Điểm A(x; y) đối xứng với điểm B qua trục hoành  B(x; y). 3/ Điểm A(x; y) đối xứng với điểm B qua trục tung  B(x; y). 4/ Điểm A(x; y) đối xứng với điểm B qua đường phân giác của góc phần tư thứ I : y = x  B(y; x). 5/ Điểm A(x; y) đối xứng với điểm B qua đường phân giác của góc phần tư thứ II: y = x  B(y; x). 6/ Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua điểm M  M là trung điểm của đoạn AB. 7/ Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường d: y = ax + b (a  0).  AB  d.  Trung điểm I của đoạn AB nằm trên đường thẳng d. B. ĐỀ THI TTLT ĐH VĨNH VIỄN 69 Bài 1: CAO ĐẲNG TÀI CHÍNH – HẢI QUAN NĂM 2007 Cho hàm số y = 2 x 4x 7 x 1 có đồ thị là (C). Tìm trên (C) hai điểm phân biệt A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: x – y + 6 = 0. Giải Gọi () là đường thẳng vuông góc với d  (): x + y + m = 0 Hoành độ giao điểm I của (d) và () là x1 = m 6 2  . Phương trình hoành độ giao điểm của () và (C) là: x +    2 x 4x 7 x 1 + m = 0  2x 2 + (m + 5)x + m + 7 = 0 (2) (x  1) Với điều kiện (2) có 2 nghiệm xA, xB phân biệt khác 1 Ta có: A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: x – y + 6 = 0.  I là trung điểm AB  A B I I, A, B thẳng hàng (hiển nhiên) x x x 2         m 6 m 5 2 4      2(m + 6) = m + 5  m = 7 Khi ấy (2)  2x 2 – 2x = 0  x = 0  x = 1 (Thỏa điều kiện (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1). Với x = 0  y = 7, x = 1  y = 6 Vậy: A(0; 7), B(1; 6) hoặc A(1; 6), B(0; 7). Bài 2: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 Cho hàm số: y = 3 2x 11 x 3x 3 3     (C) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung. Giải Gọi M(x1; y1), N(x2; y2)  (C) đối xứng qua Oy Yêu cầu bài toán tương đương với 2 1 2 1 3 3 2 21 2 2 1 1 1 2 2 x x 0 x x 0 x x11 11 y y x 3x x 3x 3 3 3 3                                    2 1 3 3 2 21 1 1 1 1 1 x x 0 x x11 11 x 3x x 3x 3 3 3 3 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 70         2 1 3 1 1 x x 0 x 9x 0              1 1 2 2 x 3 x 3 x 3 x 3             1 1 2 2 16 x 3 y 3 16 x 3 y 3 ;             1 1 2 2 16 x 3 y 3 16 x 3 y 3 Vậy 16 16 M 3; ; N 3; 3 3             hay 16 16 M 3 ; ; N 3; 3 3             . Bài 3: Cho hàm số y = x 3  3x 2 + m (1) (m là tham số) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O. Giải Gọi A và B là hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Giả sử A(x; y) thì B(x; y). Vì A, B  (Cm) nên ta có: (I) 3 2 3 2 y x 3x m (1) y x 3x m (2)           Cộng các vế tương ứng của (1) và (2) suy ra: m = 3x 2 (3) Yêu cầu bài toán tương đương với (3) có nghiệm x  0  m > 0 (vì có x ta tính được y). Vậy giá trị m cần tìm là m > 0.