Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

Trang 1 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Contents A. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG ..................................................... 5 . HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG ........... 5 . Lý thuyết .......................................................................................................................... 5 . Bài tập ............................................................................................................................... 5 . TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN .................................................................. 13 . Lý thuyết ........................................................................................................................ 13 . Bài tập ............................................................................................................................. 14 . MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG ......... 19 . Lý thuyết ........................................................................................................................ 19 . Bài tập ............................................................................................................................. 19 . GIẢI BÀI TOÁN HỆ THỨC LƯỢNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ ........... 21 . Lý thuyết ........................................................................................................................ 21 . Bài tập ............................................................................................................................. 21 . MỘT SỐ BÀI TẬP SƯU TẦM ..................................................................................... 24 B. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN ............................................................................................... 30 . GÓC Ở TÂM .................................................................................................................... 30 . Lý thuyết ........................................................................................................................ 30 . Bài tập ............................................................................................................................. 32 . GÓC NỘI TIẾP - GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG ....................... 34 . Lý thuyết ........................................................................................................................ 34 . Bài tập. ............................................................................................................................ 36 . GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG VÀ BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN ...................... 41 . Lý thuyết ........................................................................................................................ 41 . Bài tập. ............................................................................................................................ 42 . MỘT SỐ BÀI TẬP .......................................................................................................... 43 DẠNG 1: GÓC NỘI TIẾP – GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG . 43 Trang 2 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1 .......................................................................................... 47 DẠNG 2: GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG VÀ BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN .... 53 HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 2 .......................................................................................... 55 C. TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THUỘC 1 ĐƯỜNG TRÒN . 61 . TỨ GIÁC NỘI TIẾP ....................................................................................................... 61 . Lý thuyết ........................................................................................................................ 61 . Bài tập ............................................................................................................................. 63 . CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM CÙNG THUỘC MỘT ĐƯỜNG TRÒN ................. 70 . Lý thuyết ........................................................................................................................ 70 . Bài tập. ............................................................................................................................ 70 . BÀI TẬP THAM KHẢO (tự luyện) ............................................................................. 73 Dạng 1: Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới góc bằng nhau 73 Dạng 2: Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800 ................................................. 74 Dạng 3: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện ..... 76 Dạng 4: Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm ...................................................... 76 Dạng 5: Chứng minh 5 điểm nằm trên một đường tròn .......................................... 77 D. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC ................................ 79 . LÝ THUYẾT CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC .................................... 81 A. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU ............................................... 81 Phương pháp 1: Hai tam giác bằng nhau ........................................................................ 81 Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của các hình đặc biệt ........................................... 84 Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của các đường đặc biệt, điểm đặc biệt. ............ 85 Phương pháp 4: Sử dụng các tính chất liên quan đến đường tròn. ........................... 86 Phương pháp 5: Sử dụng tỉ số, đoạn thẳng trung gian ........................................... 87 B. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ ................................................................ 88 1. Tính chất trung điểm của đoạn thẳng ......................................................................... 88 3. Đường trung bình. .......................................................................................................... 88 4. Định lý Talet:.................................................................................................................... 89 Trang 3 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT 5. Tính chất đường phân giác của tam giác. ................................................................... 90 6. Các trường hợp đồng dạng của tam giác ..................................................................... 91 7. Hệ thức lượng trong tam giác vuông. .......................................................................... 92 8. Tỉ số lượng giác của góc nhọn. ...................................................................................... 93 . PHẦN BÀI TẬP. .............................................................................................................. 94 E. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY – THẲNG HÀNG ....................... 114 10 phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng ........................................................... 115 Ví dụ minh họa ...................................................................................................................... 115 Dạng 1: chứng minh qua 3 điểm xác định một góc bẹt (tổng hai góc chung đỉnh bằng 180 độ) ........................................................................................................................ 115 Dạng 2: Sử dụng tính chất đường chéo của hình đặc biệt (vd: hình bình hành) 116 Dạng 3: Sử dụng tính chất về tâm và đường kính của đường tròn ......................... 116 Dạng 4: Tiên đề Ơ-Clit: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. ........................... 117 Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho. ................................................................... 118 Một số bài tập. ........................................................................................................................ 124 F. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY ......................................................... 136 Bài tập có giải ......................................................................................................................... 137 Một số bài tập tự rèn: ............................................................................................................ 151 F. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH CỰC TRỊ HÌNH HỌC ........................................ 152 A. Phương pháp giải bài toán cực trị hình học. ............................................................... 153 1. Dạng chung của bài toán cực trị hình học: ............................................................... 153 2. Hướng giải bài toán cực trị hình học: ....................................................................... 153 3. Cách trình bày lời giải bài toán cực trị hình học . .................................................. 153 B. Các kiến thức thường dùng giải bài toán cực trị hình học. ...................................... 154 1. Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu. .................... 154 2. Sử dụng quan hệ giữa đường thẳng và đường gấp khúc. ..................................... 158 Trang 4 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT 3. Sử dụng các bất đẳng thức trong đường tròn. ......................................................... 160 4. Sử dụng bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai ............................................................ 161 5. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si . ..................................................................................... 163 6. Sử dụng tỉ số lượng giác. ............................................................................................. 166 C. Một số bài toán ôn luyện có hướng dẫn ....................................................................... 169 D. Bài tập tự luyện ................................................................................................................ 187 E. Rèn luyện tổng hợp .......................................................................................................... 192 H. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN .......................................................................................... 202 . HÌNH TRỤ ...................................................................................................................... 203 . Lý thuyết ...................................................................................................................... 203 . Bài tập ........................................................................................................................... 203 . HÌNH NÓN ..................................................................................................................... 212 . Lý thuyết ...................................................................................................................... 212 . Bài tập ........................................................................................................................... 213 . HÌNH CẦU ...................................................................................................................... 221 . Lý thuyết ...................................................................................................................... 221 . Bài tập ........................................................................................................................... 222 . BÀI TẬP TỔNG HỢP .................................................................................................. 229 Tài liệu được tổng hợp – sưu tầm từ nhiều nguồn. Sử dụng dạy ôn 10 – Mức độ: KHÁ Trang 5 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT ề đ HỆ THỨC LƯỢNG ủ Ch 1 TRONG TAM GIÁC VUÔNG A. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG . HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG . Lý thuyết Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có các hệ thức sau: 2 2 1. AB BH. BC hay c ac' A 2 2 AC CH. BC hay b ab' 2. HA2 = HB . HC hay h2 c'' b c b h 3. AB. AC BC . AH hay cb ah B C 1 1 1 1 1 1 c' H b' 4. hay . a AH2 AB 2 AC 2 h2 c 2 b 2 5. BC2 AB 2 AC 2 (Định lí Pitago) . Bài tập Vận dụng hệ thức 1: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 20cm. Biết tỉ số hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền là 9 : 16. Tính diện tích tam giác ABC. Hướng dẫn giải Vẽ đường cao AH. HB 9 HB HC HB HC 20 Ta có HC 16 9 16 9 16 25 9.20 16.20 Suy ra HB 7,2 (cm); HC 12,8 (cm) 25 25 Xét ABC vuông tại A, đường cao AH ta có: AB2 BC. BH 20.7,2 144 AB = 12 (cm); AC2 BC . CH 20.12,8 256 AC = 16 (cm). 1 1 Vậy diện tích ABC là S ABAC  12.16 96 (cm2). 2 2 Trang 6 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Cách giải khác: Sau khi tính được HB và HC, ta tính AH theo công thức: AH2 HB. HC (hệ thức 2). AH 2 7,2.12,8 92,16 AH = 9,6 (cm). 1 1 Diện tích ABC là S BCAH  20.9,6 96 (cm2). 2 2 Bài 2: Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 cm và 4 cm , kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và các đoạn thẳng mà nó chia ra trên cạnh huyền. Hướng dẫn giải Giả sử tam giác ABC có các cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm, AH là đường cao. Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông ABC: BC2 AB 2 AC 2 3 2 4 2 25 BC 5 cm A Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: BA23 2 9 BA2 BH . BC BH BH BH (cm) 3 4 BC 5 5 CA24 2 16 CA2 CHCB. CH CH CH (cm) CB 5 5 B H C 9 16 12 AH2 HB.. HC AH 2 AH (cm) 5 5 5 1 1 1 (Có thể tính đường cao AH bởi công thức ) AH2 AB 2 AC 2 Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại O. Biết OA 2 3 cm, OB = 2cm, tính độ dài AB. Hướng dẫn giải Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AB cắt tia BO tại D.      Ta có D B1 90 AOD B2 90    mà BB1 2 nên AOD D Do đó AOD cân tại A. Suy ra AD AO 2 3 (cm). Vẽ AH  OD thì HO = HD. Trang 7 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Ta đặt HO HD x thì BD 2 x 2. Xét ABD vuông tại A, đường cao AH, ta có AD2 BD.. HD Suy ra (2 3)2 x (2 x 2) Từ đó ta được phương trình: 2x2 2 x –12 0 (x – 2)(x + 3) = 0 x = 2 hoặc x = 3. Giá trị x = 2 được chọn, giá trị x = 3 bị loại. Do đó BD 2 2 2 6 (cm). Suy ra AB 62 (2 3) 2 24 2 6 (cm). Vận dụng hệ thức 2: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết diện tích các tam giác ABH và ACH lần lượt là 54cm2 và 96cm2. Tính độ dài BC. Hướng dẫn giải 1 Ta có S AHBH 54 ABH 2 Suy ra AH. BH 108 . (1) 1 S AH.CH 96 Suy ra AH. CH 192 . (2) ACH 2 Từ (1) và (2) ta được: AH2. BH . CH 108.192. Mặt khác AH2 BH . CH (hệ thức 2). Suy ra AH 4 12 4 AH = 12 (cm). 1 1 Ta có S 54 96 150 (cm2) mà S BCAH nên BCAH 150 ABC ABC 2 2 150.2 Suy ra BC 25 (cm). 12 Bài 2: Cho hình thang ABCD, AD  900 Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Biết OB = 5,4cm; OD = 15cm. a) Tính diện tích hình thang; b) Qua O vẽ một đường thẳng song song với hai đáy, cắt AD và BC lần lượt tại M và N. Tính độ dài MN. Trang 8 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Hướng dẫn giải * Tìm cách giải Đã biết đường chéo BD nên cần tìm đường chéo AC là có thể tính được diện tích hình thang. Muốn vậy phải tính OA và OC. * Trình bày lời giải a) Xét ABD vuông tại A có AO  BD nên OA2 OB . OD (hệ thức 2). Do đó OA2 5,4.15 81 OA = 9 (cm). Xét ACD vuông tại D có OD  AC nên OD2 OA . OC (hệ thức 2). OD2 15 2 OC 25 (cm). OA 9 Do đó AC 25 9 34 (cm); BD 5,4 15 20, 4 (cm). ACBD 34.20,4 Diện tích hình thang ABCD là: S 346,8 (cm2). 2 2 OM AO b) Xét ADC có OM // CD nên (hệ quả của định lí Ta-lét). (1) CD AC ON BN Xét BDC có ON // CD nên (hệ quả của định lí Ta-lét). (2) CD BC AO BN Xét ABC có ON // AB nên (định lí Ta-lét). (3) AC BC OM ON Từ (1), (2), (3) suy ra CD CD Do đó OM = ON. 1 1 1 Xét AOD vuông tại O, OM  AD nên (hệ thức 4). OM2 OA 2 OD 2 1 1 1 Do đó OM 7,7 (cm). OM2 9 2 15 2 Suy ra MN 7,7.2 15,4 (cm). Trang 9 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Vận dụng hệ thức 4: Bài 1: Cho hình vuông ABCD cạnh 1. Gọi M là một điểm nằm giữa B và C. Tia 1 1 AM cắt đường thẳng CD tại N. Tính giá trị của biểu thức P 2 2 AM AN Hướng dẫn giải * Tìm cách giải 1 1 1 1 1 Biểu thức gợi ý cho ta vận dụng hệ thức (4) để giải. Muốn vậy AM2 AN 2 h2 b 2 c 2 phải tạo ra một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng AM, AN. * Trình bày lời giải Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại E.      ADE và ABM có D B 90 AD = AB; AA1 2 (cùng phụ với DAM ). Do đó ADE ABM g . c . g . Suy ra AE = AM. 1 1 1 Xét AEN vuông tại A có AD  EN nên AE2 AN 2 AD 2 Mặt khác AE AM; AD 1 nên 1 AM2 AN 2 Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK. Chứng minh 1 1 1 rằng : BK2 BC 24 AH 2 Hướng dẫn giải * Tìm cách giải: Để chứng minh đẳng thức trên người ta thường nghĩ ngay đến hệ thức 1 1 1 lượng trong tam giác vuông “ Hệ thức ’’. Một thủ thuật để nhận ra tam h2 b 2 c 2 giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền là vẽ đường phụ để tạo ra tam giác vuông tại B có đường cao là BK, cạnh góc vuông là BC. Khi đó ta nghĩ ngay đường phụ cần vẽ cạnh góc vuông còn lại. Trang 10 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT * Trình bày lời giải Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt tia đối của tia AC tại D. Vì ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến BH = HC. Xét BCD có BH = HC (c/m trên) ; AH // BD (  BC ) D CA = AD (t/c đường trung bình của tam giác ). A Nên AH là đường trung bình của BCD K 1 AH = AH BD BD = 2AH. (1) 2 B H C Xét BCD có DBC 900 ; BK  CD ( K CD ) 1 1 1 (2) BK2 BC 2 BD 2 1 1 1 Từ (1) và (2) (đpcm) BK2 BC 24 AH 2 Vận dụng nhiều hệ thức Bài 1: Cho hình thang ABCD, ADˆ ˆ 90 hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Cho biết AD = 12cm; CD = 16cm. Tính các độ dài OA, OB, OC, OD. Hướng dẫn giải ADC vuông tại D, theo định lí Py-ta-go ta có: AC2 AD 2 DC 2 12 2 16 2 400 . Suy ra AC = 20 (cm). ADC vuông tại D, DO là đường cao nên AD. DC AC . DO (hệ thức 3). ADDC 12.16 Suy ra OD 9,6 (cm). AC 20