Câu lạc bộ Toán học - Bài kiểm tra số 2

Câu lạc bộ Toán học Viện Toán học Hà Nội Bài kiểm tra số 2 Trường đông 2013 Thời gian: 180 phút. 5 (6 đ.) Tìm tất cả các hàm f , g : R→ R thỏa mãn: g( f (x + y)) = f (x) + (2x + y)g(y), với mọi x , y ∈ R. 6 (7đ.) Cho tam giác ABC nhọn có I là tâm đường tròn nội tiếp. Trên các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABI và AC I lấy lần lượt các điểm E và F bên ngoài tam giác ABC sao cho BE = CF = AI . Ký hiệu d1, d2 lần lượt là các đường thẳng đối xứng với EF qua phân giác ngoài các góc B và C . Các đường thẳng d1, d2 cắt nhau tại D. Chứng minh rằng trung điểm K của ID thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 7 (7đ.) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên k ≥ 2 và bộ các số (a0, a1, . . . , ak), ai ∈ {0,1} sao cho k∑ i=0 5iaiC i k = 6 k−1.