Các phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình b. )(40)1(31 tyyztztxtxyxyzt  Đs: (1; 3; 2; 4) c. )1(229)(55 32233  xyyxyx Đs: (2; 3) Phương trình nghiệm nguyên – Dư Quốc Tuấn 12 5. PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC Sử dụng điều kiện xảy ra dấu bằng của bất đẳng thức ta có thể giải được một số phương trình nghiệm nguyên. VÍ DỤ Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình )4914(17)284( 244222  yyxyx Giải Theo BĐT Bunhiacopxky, ta có: 2 2 2 4 4 2( 4 28) 17( 14 49)x y x y y      Theo đề )4914(17)284( 244222  yyxyx nên 4x2 = y2 + 7 Đs: (2; 3) BÀI TẬP Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 3222236 )5(315  yzyxzxzx Đs: (3; 2; 9) 6. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Dựa vào việc đánh giá phù hợp hai vế phương trình, ta có thể giải được một số phương trình nghiệm nguyên dễ dàng VÍ DỤ Tìm nghiệm nguyên của phương trình xxy 333  Giải Ta có: xxy 333   3 3 3y x x  . Mặt khác: 3 3x x - 3x2 -1 < 3 3x x < 3 3x x + 3x2 +1 (x – 1)3 < y3 < ( x + 1)3 y3 = x3  3 3x x = x3 x = y = 0 Đs: (0; 0) Phương trình nghiệm nguyên – Dư Quốc Tuấn 13 BÀI TẬP 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình a. 3321 yxxx  Đs: (0;  1), (-1; 0) b. 224 1 yxx  Đs: (0; 1), (0; -1) c. 0132 233  yyyx Đs: (-1; -1), (1; 0) d. 2222 )1()1(  xxxxy Đs: (4; 19) 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x4 – y4 + z4 +2x2z2 + 3x2 + 4z2 + 1 = 0 Đs: (0; 1; 0); (0; - 1; 0) 3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: a. x4 + x2 – y2 + y + 10 = 0 Đs: (  2; 6); ( 2; -5) b. yyxx  224 4 Đs: (1; -2), (1; 3), (-1; 2), (-1; 3) 4. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x(x +1)(x + 2)(x +3) = y2 HD Cho y = 0, ta được x = 0; -1; -2; -3 y 0 x  0; -1; -2; -3  x(x + 3) > 0  (x2 + 3x)2 < y2 < ((x2 + 3x + 1)2 vô lí Vậy Phương trình nghiệm nguyên – Dư Quốc Tuấn 14 7. DÙNG TÍNH CHẤT SỐ VÔ TỶ LÝ THUYẾT Xét phương trình: f(x) = g(x) Nếu f(x) là số hữu tỉ, g(x) là số vô tỷ thì f(x) = g(x) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi ( ) 0 ( ) 0 f x g x    có nghiệm nguyên Mệnh đề: Bình phương mọi số nguyên đều không có dạng 4m + 3 với m là số nguyên BÀI TẬP 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình a. 214312 5 11  yyxx Đs: (5; 3) b. 11223 3 5  yxyx Đs: (3; 6) 2. (OL – 08) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình:  4 3361 11296320x y   Đs: (20; 21); (21; 20) 3. Tìm nghiệm nguyên dương x < y của phương trình: 1980x y  Đs: (55; 1375); (220; 880) Phương trình nghiệm nguyên – Dư Quốc Tuấn 15 8. DÙNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT Ta có thể lợi dụng điều kiện có nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 để giới hạn miền giá trị của các ẩn. Từ đó giúp cho việc giải phương trình đơn giản hơn. VÍ DỤ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x3 +27xy + 2009 = y3 (Tập huấn đội tuyển Singapore 2003) HD Đặt x = y + d, d nguyên, ta được phương trình: (27 – 3d)y2 + (27d – 3d2)y – d3 + 2009 = 0 Nếu d = 9, ptvn. Suy ra d  9 Dùng đk có nghiệm của pt b2 tìm được – 3(d – 14)(d – 9)(d2 + 41d +574) 0 d = 10; 11; 12; 13; 14 Đs: ( -7; 7) BÀI TẬP 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình a. x2 + xy + y2 = 2x +y Đs: y = -1; 0; 1 b. x2 – 2xy + 5y2 = y + 1 Đs: y = 0 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + 2y2 -2xy +3x -3y + 2 = 0 Đs: (-1; 0); (-2; 0) 3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x3 + y3 = (x +y)2 Phương trình nghiệm nguyên – Dư Quốc Tuấn 16 Đs: (n; -n); y = 0; 1; 2 4. Tìm nghiệm nguyên của phương trình a. (VT 01 – 02) yxyxyx 8)(3 22  Đs: (0; 0), (1; 1) b. (VT 05 – 06) 22)(2 yxxyyx  Đs: (0; 0), (0; 2), (2; 0), (2; 4), (4; 2), (4; 4). c. (VT 07 – 08) 3(x2 – xy + y2) = x – 2y Đs: (0; 0); (1; 1) 5. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x3 +10x – 1 = y3 + 6y2 (Bungari 2004) Đs: (6; 5); (2; 3) 6. (OL – 03). Tìm tất cả các số hữu tỷ dương x, y sao cho x + y và 1 1 x y  nguyên HD Đặt u = x + y; v = 1 1 x y  . Suy ra x, y là nghiệm pt: Vx2 – uvX + u = 0  = uv(uv – 4) Nếu  = 0, tìm được 3 cặp x, y Nếu > 0, suy ra uv > 4. Mà (uv – 3)2 <  < (uv – 2)2 nên  không chính phương. T/ h này không có x, y thỏa ycbt. 7. (OL – 06). Tìm nghiệm nguyên của phương trình: (x2 + y)(x + y2) = ( x – y )3 Đs: (t; 0); (9; - 6); (9; - 21); ( -1; - 1); (8; -10) 8. (OL – 06). Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x3- 3x2 + 3(y3 + 1)x – (y3 + 1)2 = 0. Đs: (0; - 1); (3; - 1); x = y2 – y – 1, y nguyên tùy ý. 9. (OL – 06). Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x3 + 27xy + 2009 = y3 HD Đặt y = x + a, phương trình trở thành (27 – 3a)x2 + (27 – 3a2)x – a3 + 2009 Phương trình có nghiệm khi – 3(a – 14)(a – 9)(a2 + 41a + 5740  0; Phương trình nghiệm nguyên – Dư Quốc Tuấn 17 Hay 9 14a  . Đs: ( - 7; 7) .10. (OL – 07) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: x2(y -5)- xy = x – y + 1 Đs: (0; 1); (1; 7); (3; 7) 11. (OL – 08) Tìm nghiệm nguyên của phương trình (x2 – y)(y2 – x) = (x – y)3 HD Phương trình tương đương x(2x2 – (y2 + 3y)x – y + 3y2) = 0; Xét y2 + 3y)x – y + 3y2 = 0. Ta có = (y – 1)2 y(y + 8) Phương trình có nghiệm khi y(y + 8) = a2, a là số tự nhiên hay (y + 4 +a)(y + 4 – a) = 16 Vì y + 4 +a  y + 4 – a và (y + 4 +a) + (y + 4 – a) chẵn nên (y + 4 +a), (y + 4 – a) chẵn Lí luận, tìm được 5 nghiệm (0; k), (1; 1), 12. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2x y x y    Đs: (9; 16); (16; 9) 9. PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐA THỨC 1. (OL – 08) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + x + 1 = 2xy + y HD Chia đa thức ta được: 4y = 2x + 1 + 3 2 1x  Đs: (0; 1); (-1; -1); (1; 1); (-2; -1) 2. (OL – 08) Tìm nghiệm nguyên của a. 2x2 + 1 = 2xy – y Đs: x = -1; 0; 1; 2 b. 2 2 2 2 1 x y z x xy x z         Đs: x = -5; -3; -1; 1 c. 22 2(2 1) 8y x y x y x     Đs: (0; 0), (-1; -2) Phương trình nghiệm nguyên – Dư Quốc Tuấn 18 10. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC 1. (OL – 04) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x = x2. HD x nguyên âm không là nghiệm x = 0 không là nghiệm Thấy x = 2; x = 4 là nghiệm. Ta chứng minh x  5 không là nghiệm bằng quy nạp. Chú ý k > 5 thì k(k – 2) > 1 hay k2 > 2k + 1. 2. (OL – 09). Tìm tất cả các số nguyên dương n mà tích các chữ số của nó theo cách viết thập phân bằng n2 – 10n – 22 HD Sd tích các chữ số của một số nguyên dương không âm và nhỏ hơn hoặc bằng chính nó. Đs: n = 12 3. (OL- 09). Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2010 + y1340 + y670 = y2010 + 2 HD Đặt u = x670, v = y670, pt trở thành u3 = v3 – v2 – v + 2. Ta thấy u3 = (v – 1)3 + 2(v – 1)2 + 1 > (v – 1)3 và u3 = v3 – (v – 1)(v + 2). Nếu v > 1 hoặc v 0 dẫn đến v3 > u3 > (v – 1)3 hay v > u > (v – 1) vô lí vì u, v nguyên. Do đó v {-2; -1; 0; 1}, xét các t/h của v ta được nghiệm pt là (1; 1), (1; -1) 4. Tìm nghiệm nguyên của hệ: 3 4 3 ac bd ad bc      HD Ta có: 25 = (ac – 3bd)2 + (ad + bc)2 = 8(bd)2 + (ac – bd)2 + (ad – bc)2  8(bd)2 Suy ra: (bd)2 25 8  . Mà bd nguyên nên bd = 1 hoặc bd = 0; 1 Đs: (1;0; 4; 3); (-1;0; -4; -3); (4; 3; 1; 0); (- 4;- 3; -1; 0) Phương trình nghiệm nguyên – Dư Quốc Tuấn 19 PHẦN II: HIỆU QUẢ Sáng kiến kinh nghiệm đã được giảng dạy thử nghiệm ở lớp 10T, trường THPT chuyên Bạc Liêu, các em tiếp thu, nắm bắt vấn đề khá tốt và vận dụng có hiệu quả trong giải toán. Kết quả được thể hiện rõ nét trong kỳ thi học sinh giỏi vòng tỉnh: 18/18 học sinh dự thi đã giải được bài này. Các em đã vận dụng các phương pháp đã học để giải bài toán. Cụ thể, đề và đáp án chính thức như sau: “Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4x2 + 16y2 – x2y2 = 14xy (1) Đáp án Có x = y = 0 thỏa mãn phương trình (1) Khi x, y Z , 0xy  thì 2(1) ( 2 ) 1 2 2 xy xyx y         (2) Phương trình (2) có VT là số chính phương và VP là tích của hai số nguyên liên tiếp nên suy ra 1 0 2 2 xy xy    . (3) Từ (2) và (3) suy ra 2 1 x y      hoặc 2 1 x y    Đs: 0 0 x y    ; 2 1 x y      ; 2 1 x y    ” Các em học sinh đã không giải theo đáp án mà sử dụng “phương pháp đưa về phương trình ước số” và giải gọn gàng như sau: (1)  (2x + 4y – xy + 1)(2x + 4y + xy – 1) = -1 2 4 1 1 2 4 1 1 2 4 1 1 2 4 1 1 x y xy x y xy x y xy x y xy                       Đs: nghiệm của phương trình là 0 0 2 1 2 1 x y x y x y              Việc học sinh vận dụng được các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên vào giải bài thi vòng tỉnh thành công là một dấu hiệu tốt chứng tỏ hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm trong thực tiễn. Phương trình nghiệm nguyên – Dư Quốc Tuấn 20 LỜI KẾT Sáng kiến kinh nghiệm chỉ mới trình bày được một số phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên. Còn một số phương pháp nữa như: phương pháp lựa chọn modul, phương pháp sử dụng các định lí cơ bản của số học, phương pháp xây dựng nghiệm chưa được đề cập. Các bài toán được giới thiệu cũng chỉ ở mức độ vừa phải. Các hạn chế này sẽ được bổ sung và hoàn thiện trong thời gian tới. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng sáng kiến kinh nghiệm vẫn không sao tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong quí đồng nghiệp đóng góp ý kiến để sáng kiến kinh nghiệm được được hoàn chỉnh hơn Phương trình nghiệm nguyên – Dư Quốc Tuấn 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên NXB GD – Phan Huy Khải; 2. Tài liệu: “Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên” trên mạng của Trần Xuân Đáng; 3. Các đề thi học sinh giỏi vòng tỉnh của sở GD – ĐT Bạc Liêu; 4. Các đề thi Olympic; 5. Đề thi vòng tỉnh của các tỉnh thành trong cả nước; 6. Tạp chí Toán học và tuổi trẻ; Phương trình nghiệm nguyên – Dư Quốc Tuấn 22 Nhận xét của tổ chuyên môn trường: Đánh giá của Hội đồng khoa học trường: Đánh giá của Hội đồng khoa học Sở GD - ĐT: