Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương

tg x 1 cotgx dx                                k 1 k2k 1 2k 3 2k 2k 2 2 k 1 k cotg x cotg x ... 1 cotg x d cotg x 1 cotg x dx cotg x cotg x cotg x 1 1 ln sin x c 2k 2k 2 2                                  •           5 4 3 2 tg 5 tg cotg 10 tg cotgx x x x x     5 5C = tgx + cotgx dx                         2 3 4 5 5 5 3 3 5 3 5 3 10 tg x cotg x 5 tg x cotg x cotg x dx tg x cotg x 5 tg x 5 cotg x 10 tg x 10cotg x dx tg x 5 tg x 10 tg x dx cotg x 5 cotg x 10cotg x dx                            Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương Page3 0 ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com                         3 2 2 3 2 2 3 3 4 4 2 2 tgx 1 tg x 4tgx 1 tg x 6tgx dx cotgx 1 cotg x 4cotgx 1 cotg x 6cotgx dx tgx 4tgx d tgx 6 tgx dx cotgx 4cotgx d cotgx 6 cotgx dx tgx cotgx 2tg x 6ln cosx 2cotg x 6ln sin x c 4 4                                        IV. Dạng 4:          m m 4 . 1 4 . 2n n tg x cotg x D = dx ; D = dx cos x sin x 1. Phương pháp: Xét đại diện     4 1 m . n tg x D dx cos x   1.1. Nếu n chẵn (n  2k) thì biến đổi:             1 1 2 2 2 1 1 k km mdx tg x tg x tg x d tg x cos x cos x            m 4.1 2k tgx D = dx cosx                   1 p k 1m 0 1 2 p 2 k 1 2 k 1 k 1 k 1 k 1 m 1 m 3 m 2p 1 m 2k 1 0 1 p k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 tg x C C tg x ... C tg x ... C tg x d tg x tg x tg x tg x tg x C C ... C ... C c m 1 m 3 m 2p 1 m 2k 1                                       1.2. Nếu m lẻ, n lẻ (m  2k 1, n  2h 1) thì biến đổi:         2 2 2 2 2 1 1 h h kk tg x sin x tg x dx tg x dx cos x cosx cos x cos x                2k+1 4 .1 2h+1 tgx D = dx cosx   k 2h k 2 2h 2 1 1 1 1 d u 1 u du cos x cos xcos x                      (ở đây 1 u cos x  )           k k 1 k pp k2h 0 2 1 2 p 2 k k k k ku C u C u ... 1 C u ... 1 C du                2k 2h 1 2k 2h 1 2k 2h 2p 1 2h 1 p k0 1 p k k k k k u u u u C C ... 1 C ... 1 C c 2k 2h 1 2k 2h 1 2k 2h 2p 1 2h 1                          1.3. Nếu m chẵn, n lẻ (m  2k, n  2h  1) thì sử dụng biến đổi:                             2k 2k 2k 4.1 2h 1 k h 12 k h 1 2 2k 2k 2 2 2k 2 2k 2 4.1 k h 1 k h 1 k h 1 k h 2 2 2 2 tg x sin x cos x sin x D dx dx d sin x ; u s inx cos x cos x 1 sin x u du u 1 1 u u du u du D du 1 u 1 u 1 u 1 u                                       Hệ thức trên là hệ thức truy hồi, kết hợp với bài tích phân hàm phân thức hữu tỉ ta có thể tính được D4.1. Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương 31 ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com 2. Các bài tập mẫu minh họa: •                 2 27 7 2 2 2 1 1 tg3 tg3 1 tg 3 tg3 3cos3 cos3 dx x x x d x x x            7 1 6 tg3x D = dx cos3x               8 10 12 7 2 4 tg3x tg3x tg3x1 1 tg3x 1 2 tg3x tg3x d tg3x 2 c 3 3 8 10 12               •           3 10 2 2 1 5 5 5 dx cotg x sin x sin x          10 2 8 cotg5x D = dx sin5x             310 2 11 13 15 17 1 cotg5x 1 cotg 5x d cotg5x 5 cotg5x cotg5x cotg5x cotg5x1 3 3 c 5 11 13 15 17                  •       94 6 41 4 4 4 tg x tg x dx cos x cos x         7 3 95 tg4x D = dx cos4x               3 94 3 94 2 2 101 99 97 95 94 6 4 2 101 99 97 95 1 1 1 1 1 1 d u u 1 du 4 cos4x cos4x 4cos4x 1 1 u u u u u u 3u 3u 1 du 3 3 c 4 4 101 99 97 95 1 1 1 3 1 c 4 101 cos4x 33 cos4x 97 cos4x 95 cos4x                                               •       40 8 31 3 3 3 cotg x cotg x dx sin x sin x         9 4 41 cotg3x D = dx sin3x   4 40 4 40 2 2 1 1 1 1 1 1 d u u 1 du 3 sin3x sin3x 3sin x                         49 47 45 43 41 4 40 8 6 4 21 1 u u u u u u u 4u 6u 4u 1 du 4 6 4 c 3 3 49 47 45 43 41                            49 47 45 43 41 1 1 4 2 4 1 c 3 49 sin3x 47 sin3x 15 sin3x 43 sin3x 41 sin3x             •           22 2 2 21 sin x cos xdx sin x d sin x sin xcos x cos x            2 5 tgx dx D = cosx Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương Page3 2 ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com            2 2 1 sin x 1 sin x 1 1 d sin x d sin x 1 sin x 1 sin x 1 sin x 1 sin x                        2 2 2 1 1 2 1 1 1 sinx d sinx ln c 1 sinx 1 sinx 1 sinx1 sin x1 sinx 1 sinx                 •               4 4 4 2 3 21 sin x cos xdx sin x d sin x cos x cos x sin x        4 6 tgx D = dx cosx           4 4 2 2 13 3 3 2 2 2 2 2 u du 1 1 u du 1 u du du I I 1 u 1 u 1 u 1 u                      2 1 2 2 1 1 u du I u         2 2 2 2 1 11 du d u 1 uu u c c 1 1 u11 uuu uuu                        2 3 21 du I u           3 3 1 1 u 1 u 1 1 1 du du 8 1 u 1 u 8 1 u 1 u                        3 3 2 1 1 1 3 1 1 du 8 1 u 1 u1 u 1 u 1 u                                           2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 2 2 2 2 2 2 1 1 1 du 1 1 u 1 u 1 u 1 u 6 3 du 8 82 1 u 2 1 u 1 2 1 u 1 u u 3 1 u du 3 du u 3 3 1 u I ln c 8 8 8 16 1 u1 u4 1 u 1 u 4 1 u                                         u               6 2 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 33 2 4 2 u 3 3 1 u D I I I ln I 8 16 1 u4 1 u u 5 u 3 1 u 2u 5u 1 u 3 1 u ln c ln c 8 16 1 u 16 1 u1 u4 1 u 8 1 u 5u 3u 3 1 u 5 sin x 3sin x 3 1 sin x ln c ln c 16 1 u 16 1 sin x8 cos x8 1 u                                     3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:                 20 11 4 6 1 2 3 48 21 3 5 tg6x cotg3x tg x cotg 2x D dx ; D dx; D dx ; D dx cos6x sin3x cos x cos 2x        Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương 33 ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com V. Dạng 5: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng 1. Phương pháp:                                   5 1 5 2 5 3 5 4 1 2 1 2 1 2 1 2 . . . . E cosmx cos nx dx cos m n x cos m n x dx E sinmx sinnx dx cos m n x cos m n x dx E sinmx cos nx dx sin m n x sin m n x dx E cosmx sinnx dx sin m n x sin m n x dx                             2. Các bài tập mẫu minh họa: •   1 2 14 4 2 cos x cos x cos x  1E = cos2x .cos5x .cos9x dx     1 1 sin16x sin12x sin6x sin2xcos16x cos12x cos6x cos2x dx c 4 4 16 12 6 2               •    3 3 8 4 cos x cos x sin x dx    3 2E = cosx sin8x dx      1 1 3 13cos x sin8x cos3x sin8x dx sin 9x sin 7x sin11x sin 5x dx 4 4 2 2 1 3 3 1 1 cos9x cos7x cos11x cos5x c 8 9 7 11 5                        •          21 1 2 13 7 8 cos x sin x sin x dx    4 3E = sinx sin3x cos10x dx         21 1 2cos 2x cos 2x sin13x sin 7x dx 8 1 1 cos 4x 1 2cos 2x sin13x sin 7x dx 8 2 1 3 4cos2x cos4x sin13x sin7x dx 16                                  1 3 sin13x sin 7x 4cos 2x sin13x sin 7x cos 4x sin13xsin 7x dx 16 1 3 sin13x sin 7x 2 sin15x sin11x sin9x sin5x 16 1 sin17x sin9x sin11x sin3x dx 2                        Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương Page3 4 ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com   1 sin17x 4sin15x 6sin13x 3sin11x 3sin9x 6sin7x 4sin5x sin3x dx 32 1 cos17x 4cos15x 6cos13x 3cos11x cos9x 6cos7x 4cos5x cos3x c 32 17 15 13 11 3 7 5 3                         •           3 2 cosx cosx sin5 x dx  5 4E = cosx sin5x dx cos3x 3cosx 1 cos2x sin5xdx 4 2                      1 cos3x 3cos x sin5x cos3x 3cos x cos 2x sin5x dx 8 1 sin 7x sin3x cos3x 3cos x sin5x cos3x 3cos x dx 8 2 1 2sin5x cos3x 3cos x cos3x 3cos x sin 7x sin3x dx 16                               1 2 sin8x sin 2x 6 sin 6x sin 4x sin10x sin 4x 32 3 sin8x sin 6x sin 6x 3 sin 4x sin 2x dx                    1 sin10x 5sin8x 10sin 6x 10sin 4x 5sin 2x dx 32 1 cos10x 5cos8x 5cos6x 5cos4x 5cos2x c 32 10 8 3 2 2                   •            3 4 3 4 2 2 2 sin x sin x sin x sin x dx dx sin x cos x cos x x cos x sin x cosx .sin2 x      5 sin3x sin4x E = dx tgx + cotg2x      1sin 2x sin3x sin 4x dx cos2x cos6x sin3x dx 2         1 1 cos5x cosx cos9x cos3xsin5x sinx sin9x sin3x dx c 4 4 5 1 9 3                3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:             5 4 3 5 2 1 2 3 2 sin8x dx E sin3x cos2x dx ; E sin x cos5x dx ; E tg3x tg5x       