Các bài tập dễ và cơ bản về khảo sát hàm số trong ôn thi Đại Học năm 2012 -2013

eåm giöõa (d) vaø (C): . (1) Ñeå (d) caét (C) taïi hai ñieåm phaân bieät A, B (1) coù hai nghieäm phaân bieät b tuyø yù. Goïi I laø trung ñieåm cuûa AB, ta coù . Vaäy ñeå thoaû yeâu caàu baøi toaùn . Bài 21. Cho hµm sè ( 1 ) cã ®å thÞ . 1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè ( 1). 2. Chøng minh r»ng ®­êng th¼ng lu«n c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B thuéc hai nh¸nh kh¸c nhau. X¸c ®Þnh m ®Ó ®o¹n AB cã ®é dµi ng¾n nhÊt. Giải. 2. Chøng minh r»ng ®­êng th¼ng lu«n c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B thuéc hai nh¸nh kh¸c nhau. X¸c ®Þnh m ®Ó ®o¹n AB cã ®é dµi ng¾n nhÊt . . §Ó ®­êng th¼ng (d) lu«n c¾t ( C ) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt th× ph­¬ng tr×nh. cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m vµ cã hai nghiÖm ph©n biÖt cã hai nghiÖm ph©n biÖt VËy víi mäi gi¸ trÞ cña m th×®­êng th¼ng lu«n c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B thuéc hai nh¸nh kh¸c nhau. . Gäi lµ hai ®iÓm giao gi÷a (d) vµ (C).( lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (*)) Ta cã Theo Vi Ðt ta cã . VËy víi m = -1 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m. (R) Bài 22. Cho hàm số có đồ thị (C) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Gọi M là điểm bất kỳ trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm tọa độ M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. Giải. 2.Gọi Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là: (D) Đường thẳng d1:x+2=0 và d2:y-3=0 là hai tiệm cận của đồ thị DÇd1=A(-2;, DÇd2=B(2a+2;3) Tam giác IAB vuông tại I ÞAB là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB Þdiện tích hình tròn S= Dấu bằng xảy ra khi và chi khi Vậy có hai điểm M thỏa mãn bài toán M(0;1) và M(-4;5) Bài 23. Cho hàm số 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình với . Giải. 2. Xét phương trình với (1) Đặt , phương trình (1) trở thành: Vì nên , giữa x và t có sự tương ứng một đối một, do đó số nghiệm của phương trình (1) và (2) bằng nhau. Ta có: Gọi (C1): với và (D): y = 1 – m. Phương trình (3) là phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (D). Chú ý rằng (C1) giống như đồ thị (C) trong miền . Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau: : Phương trình đã cho vô nghiệm. : Phương trình đã cho có 2 nghiệm. : Phương trình đã cho có 4 nghiệm. : Phương trình đã cho có 2 nghiệm. : Phương trình đã cho có 1 nghiệm. m < 0 : Phương trình đã cho vô nghiệm. Bài 24. Cho hàm số: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng 4x + y = 0. Giải. 2. Gọi M( ) là điểm cần tìm. Gọi tiếp tuyến với (C) tại M ta có phương trình. : Gọi A = ox A(;0) B = oy B(0; ). Khi đó tạo với hai trục tọa độ OAB có trọng tâm là: G(. Do G đường thẳng:4x + y = 0 (vì A, B O nên ) Với ; với . Bài 25. Cho hàm số y = - x3 - 3x2 + mx + 4, trong đó m là tham số thực. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho, với m = 0. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ¥). Giải. 2. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ¥) Û y’ = – 3x2 – 6x + m £ 0, " x > 0 Û 3x2 + 6x ³ m, " x > 0 (*) Ta có bảng biến thiên của hàm số y = 3x2 + 6x trên (0 ; + ¥) Từ đó ta được : (*) Û m £ 0. Bài 26. Cho hµm sè cã ®å thÞ lµ (C) 1.Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè 2.Chøng minh ®­êng th¼ng d: y = -x + m lu«n lu«n c¾t ®å thÞ (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B. T×m m ®Ó ®o¹n AB cã ®é dµi nhá nhÊt. Giải. 2. Hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ (C ) vµ ®­êng th¼ng d lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh Do (1) cã nªn ®­êng th¼ng d lu«n lu«n c¾t ®å thÞ (C ) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B. Ta cã yA = m – xA; yB = m – xB nªn AB2 = (xA – xB)2 + (yA – yB)2 = 2(m2 + 12) suy ra AB ng¾n nhÊt ó AB2 nhá nhÊt ó m = 0. Khi ®ã Bài 27. Cho hàm số y = (1) 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) 2/ Định k để đường thẳng d: y = kx + 3 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm M, N sao cho tam giác OMN vuông góc tại O. ( O là gốc tọa độ) Giải. 2. / Xét pt: d cắt đồ thị hs (1) tại M, N Bài 28. Cho hàm số y = x3 + mx + 2 (1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -3. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hòanh tại một điểm duy nhất. Giải. . 2.Pt : x3 + mx + 2 = 0 ( x Xét f(x) = = Ta có x - 0 1 + f’(x) + + 0 - f(x) + -3 - - - Đồ thị hàm số (1) cắt trục hòanh tại một điểm duy nhất . Bài 29. Cho hàm số y = x3 – 3x + 1 có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx + m + 3. 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2/ Tìm m để (d) cắt (C) tại M(-1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc nhau. Giải. 2. Phương trình hòanh độ giao điểm của (C) và (d): x3 – (m + 3)x – m – 2 = 0 Hay : (x + 1)(x2 – x – m – 2) = 0 (*) phải có hai nghiệm phân biệt ( m > , xN và xP là nghiệm của (*) Theo giả thiết: Bài 30. Cho hàm số . Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trên. Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ số góc k. Tìm k sao cho (d) cắt ( C ) tại hai điểm M, N và . Giải. 2. Từ giả thiết ta có: Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm phân biệt sao cho . Ta có: Dễ có (I) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt. Khi đó dễ có được Ta biến đổi (*) trở thành: Theo định lí Viet cho (**) ta có: thế vào (***) ta có phương trình: . KL: Vậy có 3 giá trị của k thoả mãn như trên. Bài 31. Cho hàm số Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(2 , 0) và B(0 , 2) Giải. 2. Pt đường trung trực đọan AB : y = x Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hoàng độ là nghiệm của pt : Hai điểm trên đồ thị thỏa ycbt : Bài 32. Cho hàm số 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. Giài. 2. Ta có: , Phương trình tiếp tuyến với ( C) tại M có dạng: Toạ độ giao điểm A, B của và hai tiệm cận là: Ta thấy , suy ra M là trung điểm của AB. Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích S = Dấu “=” xảy ra khi Do đó có hai điểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3) Bài 33. Cho hàm số (C) Khảo sát hàm số. Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = . Giải. 2. Phương trình hoành độ giao điểm: 2x2 + mx + m + 2 = 0 , (x≠ - 1) (1) d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt Û PT(1) có 2 nghiệm phân biệt khác -1 Û m2 - 8m - 16 > 0 (2) Gọi A(x1; 2x1 + m) , B(x2; 2x2 + m. Ta có x1, x2 là 2 nghiệm của PT(1). Theo ĐL Viét ta có . AB2 = 5 Û Û Û m2 - 8m - 20 = 0 Û m = 10 , m = - 2 ( Thỏa mãn (2)) Bài 34. Cho hàm số (1) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) ứng với m=1 2.Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O bằng lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O. Giải. 2. Ta có Để hàm số có cực trị thì PT có 2 nghiệm phân biệt có 2 nhiệm phân biệt Cực đại của đồ thị hàm số là A(m-1;2-2m) và cực tiểu của đồ thị hàm số là B(m+1;-2-2m) Theo giả thiết ta có Vậy có 2 giá trị của m là và . Bài 35. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x3 – 3x2 + 2 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : Giải. 2. Ta có Do đó số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của và đường thẳng 1+ 1- - 2 m 1 2 Vẽ nên bao gồm: + Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng + Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng qua Ox. Dựa vào đồ thị ta có: + Phương trình vụ nghiệm; + Phương trình có 2 nghiệm kép; + Phương trình có 4 nghiệm phân biệt; + Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Bài 36. khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C) của hàm số: Tìm m để đường thẳng (d): y = 2x + m cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của (C ) tại hai điểm đó song song với nhau. Giải. 2. Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) là: (x = 2 không là nghiệm của p trình) (d) cắt (C ) tại hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn: y’(x1) = y’(x2) hay x1+x2= 4 Bài 37. Cho hàm số : (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm k để hệ bất phương trình sau có nghiệm: Giải. 2. Ta có : . Điều kiện (2) có nghĩa: x > 1. Từ (2) Û x(x – 1)£ 2 Û 1 < x £ 2. Hệ PT có nghiệm Û (1) có nghiệm thoả 1 < x £ 2 Û Đặt: f(x) = (x – 1)3 – 3x và g(x) = k (d). Dựa vào đồ thị (C) Þ (1) có nghiệm x Î(1;2] Û . Vậy hệ có nghiệm Û k > – 5 Bài 38. Cho hàm số (1), m là tham số thực Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi . Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại 3 điểm phân biệt ; B; C sao cho tam giác có diện tích , với Giải. 2. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với là: Đường thẳng cắt dồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0;2), B, C Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0 Gọi và , trong đó là nghiệm của (2); và Ta có Mà = Suy ra =16(thoả mãn) hoặc (thoả mãn) Bài 39. Cho hàm số có đồ thị (Cm). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng Giải. 2. y’ có Hàm số đồng biến trên Bài 40. Cho hàm số y = 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết rằng tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng đi qua điểm M và điểm I(1; 1). (M(0 ; 0) ; M(2 ; 2) ) Giải. 2. Với , tiếp tuyến (d) với (C) tại M(x0 ; ) có phương trình : (d) có vec – tơ chỉ phương , Để (d) vuông góc IM điều kiện là : + Với x0 = 0 ta có M(0,0) + Với x0 = 2 ta có M(2, 2) VNMATH.COM VNMATH.COM VNMATH.COM VNMATH.COM VNMATH.COM VNMATH.COM