Bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacôpxki

1. Bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacôpxki. * Bất đẳng thức Cauchy. Cho n số không âm: a1, a2, a3, ... , an-1, an Ta luôn có: Dấu bằng xẩy ra khi a1 = a2 = ... = an. Bất đẳng thức Cauchy còn được gọi là bất đẳng thức về trung bình cộng và trung bình nhân. * Bất đẳng thứcBunhiacôpxki Cho n số: a1, a2, a3, ... , an-1, an và: b1, b2, b3, ... , bn-1, bn Ta luôn có: Dấu bảng xẩy ra khi: Bất đẳng thức trên còn được gọi là bất đẳng thức Schwarz, hay bất đẳng thức Cauchy- Schwarz. 2. Nội dung: * Vận dụng bất đẳng thức trên vào giải các phương trình và hệ phương trình. Bài toán 1: Giải phương trình ĐK: 2 Ê x Ê 4 Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:Ê (1 + 1)(x - 2 + 4 - x) = 4 ị Ê 2 (1) vì ³ 0 x2 - 6x+ 11 = x2 - 6x + 9 + 2 = (x - 3)2 + 2 ³ 2 (2) Từ (1) và (2) dấu "=" xẩy ra khi Bài toán 2: Giải phương trình x2 + 2x ³ 0 x Ê -2 hoặc x ³ 0 ĐK: 2x - 1 ³ 0 ị x ³ 3x2 + 4x + 1 ³ 0 x Ê -1 hoặc x ³ - Kết hợp các điều kiện trên ta có: x ³ áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 2 dãy ta có: 3x2 + 4x + 1 = (x + 1)(3x + 1) ³ Vậy ta có: Dấu "=" trong (2) với điều kiện (1) xẩy ra khi: và x ³ Û và x ³ ị x2 - x - 1 = 0 ị với x ³ ị là nghiệm của pt. Bài toán 3: Giải phương trình ị (1) Ta có: x2 + x + 1 = > 0 với "x nên ĐK (1) có nghĩa khi 5x - 2 ³ 0 ị x ³ (2) Theo (2) và bất đẳng thức Cauchy: Dấu "=" xẩy ra khi x2 + x + 1 = 5x - 2 Û x2 - 4x + 3 = 0 Û Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 hoặc x = 3 Bài toán 4: Giải phương trình ĐK: x > 0 áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi: Vậy nghiệm của phương trình là: x = Bài toán 5: Giải hệ phương trình Nhận xét x = 0, y = 0, z = 0 là một nghiệm của hệ Vế trái các phương trình của hệ đều là các số không âm ị x > 0, y > 0, z > 0 nhân vế với vế các phương trình của hệ ta có: = 1 ị (1 + x2)(1 + y2)(1 + z2) = 8xyz x, y, z > 0 nên theo bất đẳng thức Cauchy ta có: x2 + 1 ³ 2x dấu bằng xẩy ra khi x = 1 y2 + 1 ³ 2y dấu bằng xẩy ra khi y = 1 z2 + 1 ³ 2z dấu bằng xẩy ra khi z = 1 Nhân vế với vế ta có: (1 + x2)(1 + y2)(1 + z2) ³ 8xyz Dấu bằng xẩy ra khi x = y = z = 1 Vậy hệ có nghiệm x = 0, y = 0, z = 0 hoặc x = 1, y = 1, z = 1 Bài toán 6: Giải hệ phương trình: Từ hệ đã cho ra suy ra: y2 = (1) 2(x - 1)2 + 1 + y3 = 0 (2) Từ (1) ị hệ có nghiệm khi x ³ 0 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 + x2 ³ 2x ị Ê 1 Từ (1) ị y2 Ê 1 ị -1 Ê y Ê 1 Vì y ³ -1 ị 1 + y3 ³ 0 và (x - 1)2 ³ 0 Vậy 2(x - 1)2 + 1 + y3 ³ 0 Dấu "=" xẩy ra trong (2) khi Vậy hệ có nghiệm x = 1 ; y = -1 Bài toán 7: Giải hệ phương trình: Từ (1) ị x3 = -1 - (2y2 - 4y + 2) = -1 -2 (y - 1)2 Ê - 1 (3) Từ (2) ị x2 = ị y ³ 0 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 2y Ê 1 + y2 ị Ê 1 Vậy x2 Ê 1 ị -1 Ê x Ê 1 (4) Từ (3) và (4) ị Vậy hệ có nghiệm x = -1; y = 1 Bài toán 8: Giải hệ phương trình: Giả sử x0, y0 là nghiệm tuỳ ý của hệ khi đó ta có: Từ (1) ị x0 , y0 cùng dấu, từ (2) ị x0 , y0 cùng là các số dương, theo bất đẳng thức Cauchy: 3x0 + y0 = x0 + x0 + x0 + y0 ³ ị 6 ³ 4 hay 1,5 ³ điều này vô lý. Vậy hệ vô nghiệm. Bài toán 9: Giải hệ ĐK: 0 Ê x Ê 32 Cộng phương trình (1) và (2) ta có: = y2 - 6y + 21 (3) Do y2 - 6y + 21 = y2 - 6y + 9 + 12 = (y - 3)2 + 12 ³ 12 Dấu "=" xẩy ra khi y - 3 = 0 ị y = 3 Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có: Ê (1 + 1) (x + 32 - x) ³ 8 Dấu "=" xẩy ra khi ị x = 32 - x ị x = 16 Lại theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có: ị Ê 2.8 = 16 ị Ê 4 Dấu "=" xẩy ra khi x = 16 Vậy Ê 12 Dấu "=" xẩy ra khi: ị Vậy x = 16 và y = 3 là nghiệm của hệ. Bài toán 10: Tìm x, y > 0 biết: Nhân vế với vế (1) và (2) ta có (x + y) Ê 9 Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có: 9 = (x + y) Dấu "=" xẩy ra khi ị y = 2x Thay vào (2) ta có: Vậy hệ có nghiệm x = 1; y = 2 Bài toán 11: Tìm x, y, z > 0 biết: Nhân vế với vế của (1) với (2) ta được: (x + y + z) Ê 36 Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có: 36 = (x + y + z) Dấu "=" xẩy ra khi ị 6x = 3y = 2z Thay vào (2) khi x + y + z = 12 ta có x = 2 , y = 4 , z = 6 Bài toán 12: Giải hệ: Hệ tương đương với: áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho y2 , y2 , y2 , ta có: Dấu "=" xẩy ra khi y2 = (3) Từ (3) và (1) ị x2 + = 1 ị Bài 1: Bài 2: Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6 Bài 7: Bài 8: