Bài tập vận dụng cao Toán Lớp 12 - Chủ đề 5: Khối đa diện

Ta có . Vậy (CHUYÊN ĐHSP HN) Cho hình chóp đều có đáy cạnh bằng , góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Gọi , , tương ứng là các điểm đối xứng của , , qua . Thể tích của khối bát diện có các mặt , , , , , , là A.. B. . C.. D.. Chọn A. Cách 1: Ta tính thể tích khối chóp : Gọi H là tâm tam giác ABC đều cạnh a . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng . Cách 2: Ta có thể tích khối chóp là:. Diện tích tam giác là: . Khoảng cách từ đến mặt phẳng là: . Tứ giác là hình chữ nhật vì có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Có . Diện tích là: . Thể tích khối 8 mặt cần tìm là: Cách 3 (Tham khảo lời giải của Ngọc HuyềnLB). Thể tích khối bát diện đã cho là Ta có: Xét vuông tại : Vậy (CHUYÊN THÁI BÌNH) Cho khối chóp có , , . Thể tích lớn nhất của khối chóp là A. . B. . C. . D. . Chọn D. Gọi là hình chiếu của lên . Ta có ; dấu “=” xảy ra khi . , dấu “=” xảy ra khi . Khi đó, . Dấu “=” xảy ra khi đôi một vuông góc với nhau. Suy ra thể tích lớn nhất của khối chóp là . (CHUYÊN THÁI BÌNH) Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh, , hình chiếu vuông góc của lên mặt là trung điểm của đoạn . Tính chiều cao của khối chóp theo . A. . B. . C. . D. . Chọn A. Ta có vuông tại . Cách 1. Ta có . Chiều cao của chóp là Cách 2. . Tam giác vuông tại . Tam giác có . Cách 3. Gọi là trung điểm . Chọn hệ trục với Ta có ; ; ; Vì . Suy ra (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho khối chóp có thể tích bằng . Mặt bên là tam giác đều cạnh và đáy là hình bình hành. Tính theo khoảng cách giữa và . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Vì đáy là hình bình hành. Ta có: Vì tam giác đều cạnh Vì nên . (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Tìm là giá trị lớn nhất của thể tích các khối hộp chữ nhật có đường chéo bằng và diện tích toàn phần bằng A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn C. Đặt là kích thước của hình hộp thì ta có hệ . Suy ra Cần tìm GTLN của Ta có Do Tương tự . Ta lại có . Khảo sát hàm số này tìm được GTLN của là 4. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Khối chóp có đáy là hình thoi cạnh . , Cạnh thay đổi. Thể tích lớn nhất của khối chóp là: A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Khi thay đổi thi thay đổi. Đặt . Gọi . Vì nên chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . . Ta có . (THTT – 477) Cho khối đa diện đều mặt có thể tích và diện tích mỗi mặt của nó bằng Khi đó, tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì bên trong khối đa diện đó đến các mặt của nó bằng A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn C. Xét trong trường hợp khối tứ diện đều. Các trường hợp khác hoàn toàn tương tự. (LƯƠNG ĐẮC BẰNG) Cho hình lập phương có cạnh bằng , một mặt phẳng cắt các cạnh , , , lần lượt tại , , , . Biết , . Thể tích khối đa diện là: A. . B. . C. . D. . HD: Tứ giác MNPQ là hình bình hành có tâm là I thuộc đoạn OO’. Ta có: Gọi O1 là điểm đối xứng O qua I thì : OO1=2OI= < a. Vậy O1 nằm trong đoạn OO’. Vẽ mặt phẳng qua O1 song song với (ABCD) cắt các cạnh AA’; BB’;CC’; DD’ lần lượt tại A1, B1,C1, D1. Khi đó I là tâm của hình hộp ABCD.A B1C1D1. Vậy V(ABCD. MNPQ)=V( MNPQ.A1 B1C1D1) = (CHUYÊN VĨNH PHÚC) Người ta gọt một khối lập phương gỗ để lấy khối tám mặt đều nội tiếp nó (tức là khối có các đỉnh là các tâm của các mặt khối lập phương). Biết các cạnh của khối lập phương bằng a. Hãy tính thể tích của khối tám mặt đều đó: A. B. C. D. Đáp án B Dựng được hình như hình bên + Thấy được thể tích khối cần tính bằng 2 lần thể tích của hình chóp S.ABCD + Nhiệm vụ bây giờ đi tìm thể tích của S.ABCD + ABCD là hình vuông có tâm O đồng thời chính là hình chiếu của S lên mặt đáy ; cạnh của hình lập phương . Suy ra các cạnh của hình vuông . Vkhối đa diện . Cho tứ diện có thể tích bằng 12 và là trọng tâm tam giác . Tính thể tích của khối chóp . A. . B. . C. . D. . Chọn B. Cách 1: Phân tích: tứ diện và khối chóp có cùng đường cao là khoảng cách từ đến mặt phẳng . Do là trọng tâm tam giác nên ta có (xem phần chứng minh). Áp dụng công thức thể tích hình chóp ta có: . Chứng minh: Đặt . Từ hình vẽ có: +) . +) +) +) Chứng minh tương tự có . Cách 2: þ. Nên Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng , diện tích đáy bằng diện tích của mặt cầu có bán kính bằng . Tính thể tích khối trụ đó. A. . B. . C. . D. . Đáp án B nhìn dưới một góc . Ta có: tam giác vuông tại . Khi đó tam giác vuông tại . Ta có: . Vậy . Tương tự Vậy chính là đường kính mặt cầu ngoại tiếp khối . . Ghép 5 khối lập phương cạnh a để được khối hộp chữ thập như hình vẽ. Tính diện tích toàn phần của khối chữ thập A.. B.. C.. D.. Diện tích mỗi mặt khối lập phương: Diện tích toàn phần các khối lập phương: Diện tích toàn phần khối chữ thập: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên hợp với đáy một góc . Gọi là điểm đối xứng với qua ; là trung điểm của , mặt phẳng () chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó. A. . B. . C. . D. . Đáp án D Đặt * * * Nhận thấy K là trọng tâm của tam giác SMC * Cho hình chóp tứ giác có , là hình thang vuông tại và biết ,. Tính thể tích khối chóp theo , biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng bằng. A. . B. . C. . D.. Hướng dẫn giải Dựng tại . Dựng tại . Ta có: . Ta có: Cho lăng trụ tam giác có , góc giữa đường thẳng và bằng , tam giác vuông tại và góc . Hình chiếu vuông góc của điểm lên trùng với trọng tâm của . Thể tích của khối tứ diện theo bằng A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Gọi là trung điểm của và là trọng tâm của . . Xét vuông tại , có . (nửa tam giác đều) Đặt. Trong vuông tại có tam giác là nữa tam giác đều Do là trọng tâm . Trong vuông tại : Vậy, . Cho hình lăng trụ đứng, biết đáy là tam giác đều cạnh . Khoảng cách từ tâm của tam giác đến mặt phẳng bằng .Tính thể tích khối lăng trụ . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Gọi là trung điểm của , ta có theo giao tuyến . Trong kẻ . Suy ra: . . Xét hai tam giác vuông và có góc chung nên chúng đồng dạng. Suy ra: . . Thể tích: . Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng . Biết thể tích khối chóp bằng . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và . A. B. C. D. Hướng dẫn giải Gọi là tâm hình vuông , suy ra . Đặt . Ta có Ta có nên . Do đó . Kẻ . Khi đó. Vậy Chọn C. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông cạnh bằng Tam giác cân tại và mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp bằng Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng . A. B. C. D. Hướng dẫn giải Gọi là trung điểm . Suy ra Đặt . Ta có . Ta có . Chọn B. Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm , cạnh . Cạnh bên vuông góc với đáy, góc . Tính theo khoảng cách giữa hai đường thẳng và . A. . B. . C. D. Hướng dẫn giải Ta có , suy ra . Lại có , suy ra đều cạnh . Trong tam giác vuông , ta có . Gọi là trung điểm , suy ra và . Do đó Kẻ . Khi đó . Chọn D. Cho hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh , . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và . A. B. C. D. Hướng dẫn giải Gọi là điểm đối xứng của qua , suy ra là hình bình hành nên Do đó Kẻ tại , kẻ . Khi đó Xét tam giác , ta có (do cùng vuông góc với ) và có là trung điểm của nên suy ra là đường trung bình của tam giác. Suy ra Tam giác vuông , có Chọn C. Cho khối chóp tứ giác đều . Mặt phẳng đi qua và trung điểm của . Tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó là: A.. B.. C.. D.. Hướng dẫn giải Kẻ , suy ra hình thang là thiết diện của khối chóp. Ta có . Mà . Suy ra Và Suy ra Từ đó suy ra nên Chọn D. Cho lăng trụ đứng có đáy là hình thoi cạnh bằng , . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Tính thể tích khối lăng trụ. A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Hình thoi có , suy ra . Do đó tam giác và là các tam giác đều. Vì là trung điểm nên và Suy ra . Tam giác , có . Tam giác , có . Diện tích hình thoi . Vậy (đvtt). Chọn C. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và . A. B. C. D. Hướng dẫn giải Gọi là trung điểm của nên suy ra . Kẻ . Do đó . Kẻ , kẻ . Khi đó . Gọi là hình chiếu của trên , ta có . Tam giác vuông , có . Vậy Chọn C. ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3) Cho hình lăng trụ có tất cả các cạnh đều bằng , đáy là lục giác đều, góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là. Tính thể tích khối lăng trụ A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có là lục giác đều nên góc ở đỉnh bằng . là tam giác cân tại , là tam giác cân tại . Suy ra (NGUYỄN TRÃI – HD) Một cốc nước có dạng hình trụ đựng nước chiều cao , đường kính đáy , lượng nước trong cốc cao . Thả vào cốc nước 4 viên bi có cùng đường kính. Hỏi nước dâng cao cách mép cốc bao nhiêu xăng-ti-mét? (làm tròn sau dấu phẩy 2 chữ số thập phân, bỏ qua độ dày của cốc) A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Lượng nước dâng lên chính là tổng thể tích của 4 viên bi thả vào bằng . Dễ thấy phần nước dâng lên là hình trụ có đáy bằng với đáy cốc nước và thể tích là . Chiều cao của phần nước dâng lên là thỏa mãn: nên . Vậy nước dâng cao cách mép cốc là cm. (CHUYÊN BẮC GIANG) Cho tứ diện đều cạnh và điểm nằm trong tứ diện. Tính tổng khoảng cách từ đến các mặt của tứ diện. A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B . . Ta có . Mặt khác, . (CHUYÊN KHTN L4) Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân, , và . Mặt phẳng qua , vuông góc với cắt lần lượt tại và . Tính thể tích khối chóp . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn đáp án C. Từ hạ , Ta có Vậy mặt phẳng qua và vuông góc là mặt . Ta có Tam giác vuông vuông tại ta có: và Tam giác vuông vuông tại ta có: và Do đó . (CHUYÊN VINH – L2) Cho hình lăng trụ có thể tích bằng . Các điểm , , lần lượt thuộc các cạnh , , sao cho , . Thể tích khối đa diện bằng A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn D. Đặt Vậy