Bài tập vận dụng cao Toán Lớp 12 - Chủ đề 4: Số phức

Hướng dẫn giải Gọi . Ta có: Đặt , ta có Ta có Suy ra . Xét hàm số Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra Chọn đáp án A. Gọi điểm lần lượt biểu diễn các số phức và trên mặt phẳng tọa độ ( và đều không thẳng hàng). Với là gốc tọa độ, khẳng định nào sau đây đúng? A. Tam giác đều. B. Tam giác vuông cân tại C. Tam giác vuông cân tại D. Tam giác vuông cân tại Hướng dẫn giải Ta có: Ta có: Suy ra: và là tam giác vuông cân tại Chọn đáp án C. Cho số phức thỏa mãn điều kiện Khẳng định nào sau đây là đúng? A. B. C. D. Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức ta được Vậy, nhỏ nhất là khi và lớn nhất là khi Chọn đáp án B. Cho số phức thỏa mãn . Tìm môđun lớn nhất của số phức A. B. C. D. Hướng dẫn giải Gọi . Ta có: Đặt . Lúc đó: đạt được khi Chọn đáp án A. Cho là bốn điểm trong mặt phẳng tọa độ theo thứ tự biểu diễn các số phức . Biết là tứ giác nội tiếp tâm Tâm biểu diễn số phức nào sau đây? A. B. C. D. Hướng dẫn giải Ta có biểu diễn số phức biểu diễn số phức . Mặt khác nên . Tương tự (hay vì lí do đối xứng qua ), . Từ đó suy ra là một đường kính của đường tròn đi qua Vậy Chọn đáp án C. Trên mặt phẳng tọa độ lấy điểm là điểm biểu diễn số phức và gọi là góc tạo bởi chiều dương trục hoành và vectơ Tính A. B. C. D. Hướng dẫn giải Ta có: Ta có: Chọn đáp án D. Cho là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn và Tính môđun của số phức A. B. C. D. Hướng dẫn giải Gọi . Không mất tính tổng quát ta gọi Do Do là hai số phức liên hợp của nhau nên , mà Ta có: Vậy Chọn đáp án C. Cho số phức nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị để là số thuần ảo? A.24. B.26. C.25. D.50. Hướng dẫn giải Ta có: là số thuần ảo khi và chỉ khi (do ). Vậy có 25 giá trị thỏa yêu cầu đề bài. Chọn đáp án C. Nếu thì A. lấy mọi giá trị phức. B. là số thuần ảo. C. bằng 0. D. lấy mọi giá trị thực. Hướng dẫn giải Ta có: là số thuần ảo. Chọn đáp án B. Cho số phức thỏa mãn . Tìm môđun lớn nhất của số phức A. B. C. D. Hướng dẫn giải Gọi . Ta có: Đặt . Lúc đó: đạt được khi Chọn đáp án B. Gọi là số phức thỏa mãn hai điều kiện và đạt giá trị lớn nhất. Tính tích A. B. C. D. Hướng dẫn giải Đặt Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được Đặt Thay vào điều kiện thứ hai, ta có Dấu bằng xảy ra khi Chọn đáp án D. Có bao nhiêu số phức thỏa và A.1. B.2. C.3. D.4. Hướng dẫn giải Ta có : Chọn đáp án A. Gọi điểm lần lượt biểu diễn các số phức ; trên mặt phẳng tọa độ ( và đều không thẳng hàng) và . Với là gốc tọa độ, khẳng định nào sau đây đúng? A. Tam giác đều. B. Tam giác vuông cân tại C. Tam giác vuông cân tại D. Diện tích tam giác không đổi. Hướng dẫn giải Ta có: . Do (1) Mặt khác: (do ) (2) Từ (1) và (2) suy ra: . Vậy ta có: . Chọn đáp án A. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức A. B. C. D. Hướng dẫn giải Gọi . Ta có: Ta có: khi Chọn đáp án C. Tìm điều kiện cần và đủ về các số thực để phương trình không có nghiệm thực. A. B. hoặc . C. D. hoặc . Hướng dẫn giải Phương trình không có nghiệm thực trong các trường hợp: TH 1: Phương trình vô nghiệm, tức là TH 2: Phương trình có hai nghiệm âm Chọn đáp án D. Nếu thì A. lấy mọi giá trị phức. B. là số thuần ảo. C. bằng 0. D. lấy mọi giá trị thực. Hướng dẫn giải Ta có: là số thuần ảo. Chọn đáp án B. Cho số phức thỏa mãn . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức A. B. C. D. Hướng dẫn giải Gọi . Ta có: . Đặt , khi Chọn đáp án C. Gọi là điểm biểu diễn số phức , trong đó là số phức thỏa mãn . Gọi là điểm trong mặt phẳng sao cho , trong đó là góc lượng giác tạo thành khi quay tia tới vị trí tia . Điểm nằm trong góc phần tư nào? A. Góc phần tư thứ (I). B. Góc phần tư thứ (II). C. Góc phần tư thứ (III). D. Góc phần tư thứ (IV). Hướng dẫn giải Ta có: Lúc đó: . Chọn đáp án C. Biết số phức thỏa mãn đồng thời hai điều kiện và biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức A. B. C. D. Hướng dẫn giải Gọi . Ta có: : tâm và Mặt khác: Do số phức thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên và có điểm chung Chọn đáp án D. Các điểm và lần lượt biểu diễn các số phức và trên mặt phẳng tọa độ ( và đều không thẳng hàng). Biết , khẳng định nào sau đây đúng? A. Hai tam giác và bằng nhau. B. Hai tam giác và có cùng trực tâm. C. Hai tam giác và có cùng trọng tâm. D. Hai tam giác và có cùng tâm đường tròn ngoại tiếp. Hướng dẫn giải Gọi . Khi đó: , gọi là trọng tâm Tương tự, gọi . Khi đó: , gọi là trọng tâm Do Chọn đáp án C. Trên mặt phẳng tọa độ lấy điểm là điểm biểu diễn số phức và gọi là góc tạo bởi chiều dương trục hoành và vectơ Tính A. B. C. D. Hướng dẫn giải Ta có: Ta có: Chọn đáp án A. Cho số phức . Tìm môđun lớn nhất của A. 1. B. 0. C.. D.2. Hướng dẫn giải Ta có: Chọn đáp án A. Cho số phức có . Với tìm phần thực của số phức A. B. C. D. Hướng dẫn giải Gọi là phần thực của số phức Ta xét: Chọn đáp án D. Cho số phức thỏa mãn , được biểu diễn trong mặt phẳng phức lần lượt là các điểm . Biết , tính giá trị của biểu thức . A. B. C. D. Hướng dẫn giải Dựng hình bình hành trong mặt phẳng phức, khi đó biểu diễn của : . Chọn B. ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Cho thỏa mãn thỏa mãn . Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức là đường tròn , bán kính . Khi đó. A. B. C. D. Hướng dẫn giải ChọnC.(đã sửa đề bài) Đặt và , với . Lại có . Gọi với . Khi đó . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức là đường tròn . Khi đó chỉ có đáp án C có khả năng đúng và theo đó . Thử vào phương trình (1) thì thỏa mãn. ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Số phức được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ như hình vẽ: Hỏi hình nào biểu diễn cho số phức ? B. D. Hướng dẫn giải Chọn C. Gọi Từ giả thiết điểm biểu diễn số phức nằm ở góc phần tư thứ nhất nên . Ta có  Do nên điểm biểu diễn số phức nằm ở góc phần tư thứ hai. Vậy chọn C. (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Trong các số phức thỏa , gọi là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó A. Không tồn tại số phức. B. . C. . D. . Hướng dẫn giải. Chọn D Cách 1: Đặt . Khi đó . Suy ra biểu diễn hình học của số phức là đường tròn tâm và bán kính . Gọi là điểm biểu diễn số phức . Ta có: . . Vậy bé nhất bằng 3 khi . Cách 2: Đặt . . . (NGUYỄN TRÃI – HD) Cho số phức thỏa mãn: . Số phức có môđun nhỏ nhất là: A. B. C. D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Gọi , . Ta có: Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn của số phức là đường tròn tâm và bán kính . , với là tâm đường tròn, là điểm chạy trên đường tròn. Khoảng cách này ngắn nhất khi là giao điểm của đường thẳng nối hai điểm với đường tròn (C). (HAI BÀ TRƯNG – HUẾ ) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn hình học số phức trong mặt phẳng phức, biết số phức thỏa mãn điều kiện: A. Tập hợp các điểm cần tìm là đường tròn có tâm và có bán kính . B. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình C. Tập hợp các điểm cần tìm là những điểm trong mặt phẳng thỏa mãn phương trình D. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có: Gọi là điểm biểu diễn của số phức Gọi là điểm biểu diễn của số phức Gọi là điểm biểu diễn của số phức Khi đó: (*) Hệ thức trên chứng tỏ tập hợp các điểm là elip nhận là các tiêu điểm. Gọi phương trình của elip là Từ (*) ta có: Vậy quỹ tích các điểm là elip: (HAI BÀ TRƯNG – HUẾ ) Tính . A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn C Ta có Cách khác: Đặt Mặt khác: Thay vào và ta được: Trong mặt phẳng phức , các số phức thỏa . Tìm số phức được biểu diễn bởi điểm sao cho ngắn nhất với . A.. B.. C.. D.. Hướng dẫn giải Gọi là điểm biểu diễn số phức Gọi là điểm biểu diễn số phức Gọi là điểm biểu diễn số phức Ta có : Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường trung trục . Để ngắn nhất khi tại => Đáp án A. Trong mặt phẳng phức , tập hợp biểu diễn số phức Z thỏa là hình vành khăn. Chu vi của hình vành khăn là bao nhiêu ? A.. B.. B.. D.. Hướng dẫn giải Gọi là điểm biểu diễn số phức Gọi là điểm biểu diễn số phức . Tập hợp điểm biểu diễn là hình vành khăn giới hạn bởi 2 đường tròn đồng tâm có bán kính lần lượt là => Đáp án C. Lưu ý cần nắm vững lý thuyết và hình vẽ của dạng bài này khi học trên lớp tránh nhầm lẫn sang tính diện tích hình tròn. Trong mặt phẳng phức , tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn là hai đường thẳng . Khoảng cách giữa 2 đường thẳng là bao nhiêu ? A.. B.. C.. D.. Hướng dẫn giải Gọi là điểm biểu diễn số phức Ta có : Ta chọn đáp án B. Ở đây lưu ý hai đường thẳng x = 2 và x = -2 song song với nhau. (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH – L2) Cho số phức thỏa mãn . Tính , với . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có . Trường hợp : . Trường hợp 2: Gọi (với ) khi đó ta được . Suy ra . Từ , suy ra . ( CHUYÊN SƠN LA – L2) Cho số phức thỏa mãn điều kiện : và có môđun lớn nhất. Số phức có môđun bằng: A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải: Chọn B. Gọi Ta có: Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm bán kính như hình vẽ: Dễ thấy , Theo đề ta có: là điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn: Suy ra đạt giá trị lớn nhất lớn nhất Mà nên lớn nhất khi là đường kính đường tròn là trung điểm ( CHUYÊN SƠN LA – L2) Giả sử theo thứ tự là điểm biểu diễn của số phức , . Khi đó độ dài của bằng A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải. Chọn B. Giả sử , , . Theo đề bài ta có: , . . (CHU VĂN AN – HN) Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B . Đặt . Ta có và . Đặt . Khi đó . Vậy . (CHU VĂN AN – HN) Trên mặt phẳng tọa độ , tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện . A. Đường tròn . B. Elip . C. Đường tròn . D. Elip . Hướng dẫn giải Chọn D. Gọi là điểm biểu diễn số phức , . Gọi là điểm biểu diễn số phức Gọi là điểm biểu diễn số phức Ta có: . Ta có . Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức là Elip với tiêu điểm là , , tiêu cự , độ dài trục lớn là , độ dài trục bé là . Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện là Elip có phương trình