Bài tập vận dụng cao Toán Lớp 12 - Chủ đề 3: Nguyên hàm – Tích phân – Ứng dụng

úng D đúng. (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số . Gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn . Tính . A. 18 B. 12 C. 16 D. 9 Hướng dẫn giải , với . . . Suy ra . Suy ra . Đáp án: C. (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Giả sử với là các số nguyên dương. Tính bằng: A.. B.. C.. D.. Hướng dẫn giải Ta có: Vậy . Chọn D. (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho là nguyên hàm của hàm số và . Tập nghiệm của phương trình là: A.. B.. C.. D.. Hướng dẫn giải Ta có:. Do nên. Vậy . Do đó: Chọn A. (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho là các hàm số liên tục trên đoạn và thỏa mãn . Hãy tìm mệnh đề KHÔNG đúng. A. B. C. D. Hướng dẫn giải Ta có: nên đúng nên đúng nên đúng Nên sai Chọn đáp án (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Giả sử . Khi đó bằng A. -2 B. 3 C. 2 D. 5 Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có nên Do đó . Vậy . (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho biết . Tính giá trị của A. B. C. D. Hướng dẫn giải Để tỉnh ta đặt nên chọn đáp án (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số thỏa mãn và . Tính tổng bằng: A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn C. Vậy (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Biết rằng: Trong đó là những số nguyên. Khi đó bằng: A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. . Tính Tính Đặt . Đổi cận : . . Vậy . (LẠNG GIANG SỐ 1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số và hai tiếp tuyến của xuất phát từ là A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn A Ta có . Gọi là tọa độ tiếp điểm. Khi đó, và . Phương trình của tiếp tuyến của tại điểm có tọa độ là Vì tiếp tuyến đi qua điểm nên Diện tích hình phẳng cần tìm (LẠNG GIANG SỐ 1) Tích phân , với , là các số thực . Tính A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn A Đặt . Ta có Do đó, . (LẠNG GIANG SỐ 1) Giả sử và . Tổng bằng A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có ; (LẠNG GIANG SỐ 1) Tích phân . Tính tích . A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn B. . (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Biết với là các số nguyên. Tính . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. . Đặt . Đổi cận . Suy ra . (+) (–) (+) 6 (–) 0 Suy ra: . Vậy . (NGÔ GIA TỰ - VP) Có bao nhiêu giá trị của trong đoạn thỏa mãn . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B. Đặt Đổi cận: + Với + Với Khi đó . Do . Bình luận: Khi cho thì tích phân không xác định vì mẫu thức không xác định (trong căn bị âm). Vậy đáp án phải là B, nghĩa là chỉ chấp nhận . (NGÔ GIA TỰ - VP) Diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường: và là: A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Xét phương trình hoành độ giao điểm của các đường. Ta có: Diện tích cần tìm là: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Có bao nhiêu số sao cho A.. B.. C.. D.. Hướng dẫn giải Chọn D Ta có Do đó . Vì nên và nên có 10 giá trị của (THTT – 477) Giá trị của bằng A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có: Đặt . Đổi cận: Khi Khi đó: Mà khi , Do đó, (THTT – 477) Nếu thì bằng A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn A. Đặt . Đổi cận: khi Khi đó: . Suy ra có nghiệm duy nhất (tính đơn điệu). (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hàm số có đồ thị . Biết rằng đồ thị tiếp xúc với đường thẳng tại điểm có hoành độ âm và đồ thị hàm số cho bởi hình vẽ dưới đây: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục hoành. A.. B.. C.. D.. Hướng dẫn giải Chọn B. Từ đồ thị suy ra . . Do tiếp xúc với đường thẳng tại điểm có hoành độ âm nên . Suy ra Xét phương trình . Diện tích hình phẳng cần tìm là: . (SỞ GD HÀ NỘI) Cho là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn Biết rằng và . Tính A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn D. Vì là hàm số chẵn nên Xét tích phân Đặt Đổi cận: . Vậy (SỞ GD HÀ NỘI) Biết rằng . Tính . A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn C. Đặt Đổi cận: + + nên câu C đúng. (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hàm số liên tục trên đoạn . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , trục hoành, hai đường thẳng , (như hình vẽ dưới đây). Giả sử là diện tích hình phẳng . Chọn công thức đúng trong các phương án A, B, C, D cho dưới đây? A.. B.. C.. D.. Hướng dẫn giải Chọn B. + Nhìn đồ thị ta thấy: Đồ thị cắt trục hoành tại Trên đoạn , đồ thị ở dưới trục hoành nên Trên đoạn , đồ thị ở trên trục hoành nên + Do đó: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL) Biết , với là các số nguyên. Tính A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Biết trong đó là các số nguyên dương và là phân số tối giản. Tính A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có Đặt . (PHAN ĐÌNH PHÙNG – HN) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường và Tìm để diện tích của hình phẳng gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc trong hình vẽ bên. A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn D. Do đồ thị nhận trục làm trục đối xứng nên yêu cầu bài toán trở thành: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi : (CHUYÊN THÁI BÌNH) Cho hàm số có đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn A. Đồ thị của hàm số liên tục trên các đoạn và , lại có là một nguyên hàm của . Do đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: là: . Vì Tương tự: diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: là: . . Mặt khác, dựa vào hình vẽ ta có: . Từ (1), (2) và (3) ta chọn đáp án A. (có thể so sánh với dựa vào dấu của trên đoạn và so sánh với dựa vào dấu của trên đoạn ). Cho tam giác đều có diện tích bằng quay xung quanh cạnh của nó. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành. A. B. C. D. Hướng dẫn giải Đáp án A . Chọn hệ trục vuông góc sao cho với là trung điểm. Phương trình đường thẳng là , thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục (trùng) tính bởi . Vậy thể tích cần tìm . Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị của A.. B. 0. C. 2. D. 1. Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có: Đặt ta có thì thì và Thay vào (1) có Vậy ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Cho , là hai hàm liên tục trên thỏa:. . Tính . A. 8. B. 9. C. 6. D. 7. Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có . Tương tự . Xét hệ phương trình , trong đó , . Khi đó . (PHAN ĐÌNH PHÙNG) Thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn xung quanh trục hoành là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải ChọnD. . . Đặt . Với . . (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Trong mặt phẳng tọa độ cho có phương trình và đường tròn Để diện tích elip gấp 7 lần diện tích hình tròn khi đó A.. B.. C.. D.. Hướng dẫn giải Chọn D. . Diện tích là Đặt . Đổi cận: Mà ta có Theo giả thiết ta có (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Giả sử tích phân . Với phân số tối giản. Lúc đó A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có . Đặt Do đó Khi đó (NGÔ QUYỀN – HP) Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường . Tìm giá trị của để . A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có (do ). và . Xét phương trình hoành độ giao điểm của và ta có . Khi đó . Để (do ). (CHUYÊN KHTN L4) Gọi là phần giao của hai khối hình trụ có bán kính , hai trục hình trụ vuông góc với nhau. Xem hình vẽ bên. Tính thể tích của . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn đáp án A. Ta gọi trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó phần giao là một vật thể có đáy là một phần tư hình tròn tâm bán kính , thiết diện của mặt phẳng vuông góc với trục là một hình vuông có diện tích Thể tích khối là . (CHUYÊN KHTN L4) Với các số nguyên thỏa mãn . Tính tổng . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. Đặt ta có . (CHUYÊN VINH – L2)Trong Công viên Toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ là như hình vẽ bên. Tính diện tích của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ tương ứng với chiều dài mét. A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn D. Vì tính đối xứng trụ nên diện tích của mảnh đất tương ứng với 4 lần diện tích của mảnh đất thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ . Từ giả thuyết bài toán, ta có . Góc phần tư thứ nhất Nên (CHUYÊN VINH – L2)Gọi là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , và quanh trục . Đường thẳng cắt đồ thị hàm tại (hình vẽ bên). Gọi là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác quanh trục . Biết rằng . Khi đó A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có . Khi đó Ta có Khi quay tam giác quanh trục tạo thành hai hình nón có chung đáy: Hình nón có đỉnh là , chiều cao , bán kính đáy ; Hình nón thứ 2 có đỉnh là , chiều cao , bán kính đáy Khi đó Theo đề bài . (CHUYÊN VINH – L2)Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: , trục tung và trục hoành. Xác định để đường thẳng đi qua điểm có hệ số góc chia thành hai phần có diện tích bằng nhau. A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là: . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: , trục tung và trục hoành là: . Phương trình đường thẳng đi qua điểm có hệ số góc có dạng: . Gọi là giao điểm của và trục hoành. Khi đó . Đường thẳng chia thành hai phần có diện tích bằng nhau khi và . . (CHUYÊN TUYÊN QUANG –L1) Tính tích phân . Với , , là các số nguyên. Khi đó biểu thức có giá trị bằng A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có . Tính . Tính Đặt . Khi . Khi đó . Đặt . Khi . Suy ra . Vậy . Vậy . (CHU VĂN AN – HN) Cho hai mặt cầu , có cùng bán kính thỏa mãn tính chất: tâm của thuộc và ngược lại. Tính thể tích phần chung của hai khối cầu tạo bởi và . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C Gắn hệ trục như hình vẽ Khối cầu chứa một đường tròn lớn là Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính là . `(CHU VĂN AN – HN) Cho hàm số có đồ thị với là tham số thực. Giả sử cắt trục tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ : Gọi , và là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Tìm để . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử là nghiệm dương lớn nhất của phương trình . Khi đó ta có (1) Nếu xảy ra thì Từ (1) và (2), trừ vế theo vế ta được . Thay trở ngược vào (1) ta được .