Bài tập vận dụng cao Toán Lớp 12 - Chủ đề 1: Khảo sát hàm số & ứng dụng (Có đáp án)

góc với đường thẳng : . A. B. C. D. Hướng dẫn Chọn C [Phương pháp tự luận] Ta có : Điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị là : Ta có : Hệ số góc đt là : Đt vuông góc với đường thẳng khi và chỉ khi [Phương pháp trắc nghiệm] Bước 1 : Bấm Mode 2 (CMPLX) Bước 2 : Bước 3 : Cacl , Kết quả : . Hay : Vậy phương trình đt qua 2 điểm cực trị là : Có đt vuông góc với đường thẳng khi và chỉ khi Tìm các giá trị của tham số để đồ thị hàm số: có điểm cực đại và điểm cực tiểu cách đều đường thẳng có phương trình: . A. B. C. D. Hướng dẫn Chọn A [Phương pháp trắc nghiệm] Hàm số có 2 cực trị , gọi là hai nghiệm của phương trình , ta có: Bấm máy tính: Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: Gọi là trung điểm của Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: Yêu cầu bài toán Kết hợp với điều kiện thì . Tìm các giá trị của tham số để đồ thị hàm số: có ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc O tạo thành 1 tứ giác nội tiếp. A. B. C. Không tồn tại m. D. Hướng dẫn Chọn A Hàm số có 3 điểm cực trị khi Khi đó 3 điểm cực trị là: Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp( nếu có) của tứ giác . Do tính chất đối xứng , ta có: thẳng hàng là đường kính của đường tròn ngoại tiếp( nếu có) của tứ giác . Vậy Kết hợp điều kiện ( thỏa mãn). Tìm các giá trị của tham sốđể đồ thị hàm số: có ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn hơn 1. A. B. C. D. Không tồn tại m. Hướng dẫn Chọn B [Phương pháp tự luận] Hàm số có 3 điểm cực trị khi Ba điểm cực trị là Gọi là trung điểm của Chu vi của là: Bán kính đường tròn nội tiếp là: Theo bài ra: (vì ) So sánh điều kiện suy ra thỏa mãn. [Phương pháp trắc nghiệm] Sử dụng công thức Theo bài ra: So sánh điều kiện suy ra thỏa mãn. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị sao cho ( Trong đó là gốc tọa độ). A. B.. C.hoặc . D.hoặc . Hướng dẫn Chọn D Ta có: Với mọi , ta có . Vậy hàm số luôn có hai điểm cực trị. Giả sử . Ta có : ( thỏa mãn) Vậy giá trị cần tìm là: . Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích 48 cm2, hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất bằng: A.cm B. cm C. 24 cm D. cm Hướng dẫn Chọn A. Cách 1 Gọi cạnh của hình chữ nhật: a, b; 0 <a, b 48 Ta có: . Chu vi: ; Bảng biến thiên: 0 48 0 + Cách 2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi: chu vi nhỏ nhất: Hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất bằng khi cạnh bằng . Tam giác vuông có diện tích lớn nhất là bao nhiêu nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a > 0)? A.. B. . C.. D.. Hướng dẫn Chọn A. Cạnh góc vuông ; cạnh huyền: Cạnh góc vuông còn lại là: Diện tích tam giác . Bảng biến thiên: 0 0 Tam giác có diện tích lớn nhất bằng khi cạnh góc vuông , cạnh huyền Cho hàm số Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho. Khi đó M+m bằng A.– 4. B.– 5 . C.– 6 . D. 3. Hướng dẫn Chọn D. Tập xác định: . Đặt ; Vậy Cho hàm số Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho. Chọn mệnh đề đúng. A.. B.. C.. D.. Hướng dẫn Chọn B. Đặt , . Vậy Cho hai số thực thay đổi và thỏa mãn điều kiện . Giá trị lớn nhất của biểu thứclà: A. B. C. D. Hướng dẫn Chọn D. . Đặt . Từ giả thiết ta có: Do đó . Từ đó . Xét hàm số . Lập bảng biến thiên ta tìm giá trị lớn nhất của A là: 16 đạt được khi . Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là và đường tiệm cận ngang là . Giá trị của số nguyên m nhỏ nhất thỏa mãn là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn Chọn D Ta có đường tiệm cận đứng là và đường tiệm cận ngang là Nên Do đó Cho hàm số . Gọi là điểm bất kỳ trên (C), d là tổng khoảng cách từ đến hai đường tiệm cận của đồ thị (C). Giá trị nhỏ nhất của d là A. 5. B. 10. C. 6. D. 2. Hướng dẫn Chọn D Tọa độ điểm có dạng với Phương trình tiệm cận đứng, ngang lần lượt là . Ta có Cho hàm số có đồ thị . Tất cả các giá trị của tham số m để cắt trục tại ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa là A. hoặc B. . C. . D. . Hướng dẫn Chọn A. Phương pháp tự luận: Phương trình hoành độ giao điểm của và đường thẳng : cắt tại ba điểm phân biệt phương trình có hai nghiệm phân biệt khác . Gọi còn là nghiệm phương trình nên theo Viet ta có . Vậy Vậy chọn . Phương pháp trắc nghiệm: Ta kiểm tra ngay trên đáp án + Với , ta giải phương trình bậc ba: thu được 3 nghiệm Ta chọn những giá trị nhỏ hơn các nghiệm này và kiểm tra điều kiện của bài toán. Cụ thể ta tính loại C, D. + Với , ta làm tương tự thu được 3 nghiệm Tính loại B. Vậy chọn . Cho hàm số có đồ thị là . Gọi điểm với là điểm thuộc biết tiếp tuyến của tại điểm cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt và tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng . Hỏi giá trị của bằng bao nhiêu? A.. B.. C.. D.. Hướng dẫn Chọn A. Gọi với là điểm cần tìm. Gọi tiếp tuyến của tại ta có phương trình. . Gọi và . Khi đó tạo với hai trục tọa độ có trọng tâm là . Do thuộc đường thẳng (vì không trùng nên ) . Vì nên chỉ chọn . Cho hàm số có đồ thị là , đường thẳng . Với mọi ta luôn có cắt tại 2 điểm phân biệt . Gọi lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với tại . Tìm để tổng đạt giá trị lớn nhất. A.. B.. C.. D.. Hướng dẫn Chọn A. Phương trình hoành độ giao điểm của và là Û. Theo định lí Viet ta có . Giả sử . Ta có , nên tiếp tuyến của tại và có hệ số góc lần lượt là và . Vậy Dấu "=" xảy ra Û. Vậy đạt giá trị lớn nhất bằng khi . Cho hàm số có đồ thị . Biết khoảng cách từ đến tiếp tuyến của tại là lớn nhấtthì tung độ của điểm nằm ở góc phần tư thứ hai, gần giá trị nào nhất? A.. B.. C.. D.. Hướng dẫn Chọn C. Phương pháp tự luận Ta có . Gọi . Phương trình tiếp tuyến tại là . . Dấu xảy ra khi và chỉ khi . Tung độ này gần với giá trị nhất trong các đáp án. Phương pháp trắc nghiệm Ta có . Cho hàm số có đồ thị . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Khi đó, khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị đến bằng? A.. B.. C.. D.. Hướng dẫn Chọn D. Phương pháp tự luận Gọi . Phương trình tiếp tuyến tại có dạng . Giao điểm của với tiệm cận đứng là . Giao điểm của với tiệm cận ngang là . Ta có . Bán kính đường tròn ngoại tiếp là , suy ra . Suy ra . . Phương pháp trắc nghiệm vuông cân tại . . Cho hàm số có đồ thị . Biết rằng tiếp tuyến tại một điểm bất kỳ của luôn cắt hai tiệm cận của tại và . Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng là A. . B.. C.. D. . Hướng dẫn Chọn D. Lấy điểm với . Ta có . Tiếp tuyến tại có phương trình . Giao điểm của với tiệm cận đứng là . Giao điểm của với tiệm cận ngang là . Ta có , suy ra . Dấu “=” xảy ra khi , nghĩa là hoặc . Cho hàm số có đồ thị . Tổng khoảng cách từ một điểm thuộc đến hai hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất bằng ? A. . B. . C. . D.. Hướng dẫn Chọn D. Điểm nằm trên trục . Khoảng cách từ M đến hai trục là . Xét những điểm có hoành độ lớn hơn . Xét những điểm có hoành độ nhỏ hơn : Với Với . Chứng tỏ hàm số nghịch biến. Suy ra . Tọa độ cặp điểm thuộc đồ thị của hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng là A.và. B.và. C.và. D.và. Hướng dẫn Chọn B. Gọi đường thẳng vuông góc với đường thẳng suy ra . Giả sử cắt tại hai điểm phân biệt . Khi đó hoành độ của là nghiệm của phương trình . Điều kiện cần: Để cắt tại hai điểm phân biệt thì phương trình có hai nghiệm phân biệt khác , tức là (*). Điều kiện đủ: Gọi là trung điểm của , ta có: . Để hai điểm đối xứng nhau qua khi (thỏa điều kiện (*)). Với phương trình Vậy tọa hai điểm cần tìm là và .  (CHUYÊN QUANG TRUNG) Để hàm số đạt cực đại tại thì thuộc khoảng nào ? A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B. Tập xác định: . Đạo hàm: . Hàm số đạt cực trị tại thì . Với . Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại nên ta nhận. Với . Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại nên ta loại. (CHUYÊN VINH – L2)Cho các số thực thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có Mặt khác Xét biểu thức . Mà , kết hợp với Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là (CHUYÊN VINH – L2)Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình bên. Tất cả các giá trị của tham số để hàm số có ba điểm cực trị là A. hoặc . B. hoặc . C. hoặc . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Nhận xét: Đồ thị hàm số gồm hai phần: Phần 1 là phần đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành; Phần 2 là phần đối xứng của đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành. Dựa vào đồ thị của hàm số đã cho hình bên ta suy ra dạng đồ thị của hàm số . Khi đó hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số và trục hoành tại nhiều nhất hai điểm chung . (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH – L2) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau: Khi đó có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có , suy ra . NX: . Bảng biến thiên của hàm số như sau: Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi . (CHUYÊN THÁI BÌNH – L4) Cho hàm số. Hỏi đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm phân biệt? A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn C Ta có Đặt Xét hàm Do phương trình có hai nghiệm dương phân biệt và nên có 3 nghiệm dương phân biệt Do đó có 6 nghiệm phân biệt. (CHUYÊN THÁI BÌNH – L4) Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số đồng biến trên . A. B. C. D. Hướng dẫn giải. Chọn B + Tập xác định: . + . . * Trường hợp 1: , ta có bảng xét dấu: Dựa vào BXD, ta có hàm số nghịch biến trên . * Trường hợp 2: . Để hàm số nghịch biến trên thì . Vậy thì hàm số nghịch biến trên . (CHUYÊN THÁI BÌNH – L4) Phương trình có bao nhiêu nghiệm thực trong ? A. vô nghiệm. B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có hàm số tuần hoàn với chu kỳ . Xét hàm số trên . Ta có Do vậy trên , . ; Bảng biến thiên Vậy trên phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt. Ta có , nên trên phương trình có ba nghiệm phân biệt là . Suy ra trên phương trình có đúng nghiệm.