Bài giảng Những khái niệm cơ bản về hàm

(2) và (3) ta suy ra: , thay vào (2) suy ra: Vậy: VI.Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp sai phân để giải phương trình hàm a.Lí thuyết: +) Khái niệm dãy số: Dãy số là một hàm của đối số tự nhiên: Vì +) Định nghĩa sai phân: Xét hàm x(n) = x0 Sai phân cấp 1 của hàm xn là: Sai phân cấp 2 của hàm xn là: Sai phân cấp k của hàm xn là: +) Các tính chất của sai phân: * Sai phân các cấp đều được biểu thị qua các hàm số * Sai phân có tính chất tuyến tính: * Nếu xn là đa thức bậc m thì: là đa thức bậc m - k nếu m > k là hằng số nếu m = k là 0 nếu m < k Ví dụ: Xét dãy số hữu hạn: 1,-1,-1,1,5,11,19,29,41,55. Tìm quy luật biểu diễn của dãy số đó. Giải. Ta lập bảng sai phân như sau: xn 1 -1 -1 1 5 11 19 29 41 55 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Vậy do đó xn là đa thức bậc hai: Để tính a, b, c ta đưa vào 3 giá trị đầu x0 = 1, x1 = -1, x2 = -1 sau đó ta giải hệ phương trình ta nhận được: a = 1, b = -3, c = 1. Do đó: xn = n2 - 3n + 1 +) Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (1) Gọi là phương trinh tuyến tính thuần nhất cấp k +) Phương trình đặc trưng (2) +) Nghiệm tổng quát Nếu phương trình (2) có k nghiệm phân biệt , , ,, thì nghiệm tổng quát của (1) là Nếu (2) có nghiệm bội, chẳng hạn có bội s thì nghiệm tổng quát của (1) sẽ là: b. Bài toán áp dụng: Bài1: Cho dãy số (xn) có: xn+3 = 6xn+2 - 11xn+1 + 6xn (1) x0 = 3, x1 = 4, x2 = -1 Hãy tìm xn. Giải Ta có (1) xn+3 - 6xn+2 + 11xn+1 - 6xn = 0 Phương trình đặc trưng là: Suy ra: xn = c1 + c22n + c33n (2) Để tìm c1, c2, c3 ta thay x0 = 3, x1 = 4, x2 = -1 vào (2) ta sẽ tìm được: Từ đó ta có Bài2: Cho dãy số (xn) có xn = 7xn-1 - 11xn-2 + 5xn-3 , (1) x0 = 0, x1 = 1, x2 = 3 Tìm xn. Giải: Ta có (1) xn - 7xn-1 + 11xn-2 - 5xn-3 = 0 Phương trình đặc trưng là: Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: (2) Để tìm c1, c2, c3 ta thay x0 = 0, x1 = 1, x2 = 3 vào (2) ta sẽ tìm được: Từ đó ta được: Chú ý: Đối với phương pháp sai phân, ta có một số khác nữa như phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất, phương trình sai phân phi tuyến và có cả một hệ thống phương pháp giải quyết để tuyến tính hoá phương trình sai phân. Song liên quan đến phương trình trong bài viết này, chỉ nhắc lại phương trình sai phân tuyến tính đơn giản nhất (chưa xét đến phương trình sai phân tuyến tính có nghiệm phức). c. Áp dụng đối với phương trình hàm: Bài1: Tìm hám số thoã mãn điều kiện: f(f(x)) = 3f(x) - 2x, Giải. Thay x bởi f(x) ta được: f(f(fx))) = 3f(f(x)) - 2f(x), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , Hay Đặt: Ta được phương trình sai phân: Phương trình đặc trưng là: Do đó Ta có: Từ đó ta được: Vậy: hoặc Bài2: Tìm tất cả các hàm xác định trên N và thoã mãn đồng thời các điều kiện sau: Giải: Cho k = n = 0 Nếu f(0) = 0 chọn n = 0 ta được: -2f(k) = 0 do đó f(k) = 0 với mọi k Chọn k = 1 ta được f(1) = 0 mâu thuẫn với giả thiết. Vậy: f(0) = -2. Chọn n = 1 ta được phương trình: Đặt: ta có phương trình sai phân: Phương trình đặc trưng là: Vậy: Ta tìm c1, c2. Tư điều kiện f(0) = -2, f (1) = 1 thay vào trên ta tìm được c1 = 0, c2 = -2 Vậy: VII.Phương pháp 7: Điểm bất động *. Điểm bất động: Trong số học, giải tích các khái niệm về điểm bất động, điểm cố định rất quan trọng và nó được trình bày rất chặt chẻ thông qua một hệ thống lí thuyết. Ở đây tôi chỉ nêu ứng dụng của nó qua một số bài toán về phương trình hàm. Bài1: Xác định hàm số f(x) sao cho: f(x + 1) = f(x) + 2 , Giải: Ta suy nghĩ như sau: Từ giả thiết ta suy ra c = c + 2 do đó c = Vì vậy ta coi 2 như là f(1) ta được: f(x + 1) = f(x) + f(1) (*) Như vậy ta đã chuyển phép cộng ra phép cộng. Dựa vào đặc trưng hàm, ta phải tìm a: Trong đó f(x) = ax. Từ giả thiết ta được a(x + 1) = ax + 2 a = 2 Vậy ta làm như sau: Đặt: f(x) = 2x + g(x) Thay vào (*) ta có: 2(x + 1) + g(x + 1) = 2x + g(x) +2, Điều này tương đương với: g(x +1) = g(x), Vậy g(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 1. Vậy: f(x) = 2x + g(x) với g(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 1. Nhận xét: Qua bài toán 1 ta có thể tổng quát lên thành bài toán như sau: TQ: Tìm hàm số f(x) thoã mãn: f(x + a) = f(x) + b, , a, b tuỳ ý Bài 2: Tìm hàm f(x) sao cho: f(x + 1) = -f(x) + 2, (1) Giải: Ta cũng đưa đến c = -c + 2 do đó c = 1 Vậy đặt: f(x) = 1 + g(x), thay vào (1) ta được phương trình: g( x + 1) = -g(x), Do đó ta có: (3) Ta chứng minh mọi nghiệm của (3) có dạng: , ở đó h(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 Nhận xét: Qua ví dụ này ta có thể tổng quát thành bài toán: TQ: Tìm hàm số f(x) sao cho: f(x + a) = -f(x) + b, , a,b tuỳ ý Bài 3: Tìm hàm số f(x) sao cho: f(x + 1) = 3f(x) + 2, (1) Giải: Ta đi tìm c sao cho c = 3c + 2 suy ra c = -1 Đặt: f(x) = -1 + g(x) Lúc đó (1) có dạng: g(x + 1) = 3g(x) , Coi 3 như g(1) ta có: g(x + 1) = g(1).g(x) , (2) Từ đặc trưng hàm chuyển phép cộng về phép nhân, ta thấy phải sử dụng hàm mũ: Nên ta có: Vậy ta đặt: thay vào (2) ta được: h(x + 1) =h(x), Vậy h(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 1. Kết luận: với h(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 1. Nhận xét: Từ bài này ta đưa đến bài toán tổng quát là: TQ: Tìm hàm số f(x) sao cho f(x + a) = bf(x) + c, , a,b,c tuỳ ý, b>0, b khác 1 ( Với loại này được chuyển về hàm tuần hoàn) Còn: f(x + a) = bf(x) + c, , a,b,c tuỳ ý, b<0, b khác 1 được chuyển về hàm phản tuần hoàn. Bài 4: Tìm hàm số f(x) sao cho: f(2x + 1) = 3f(x) - 2 , (1) Giải: Ta có: c = 3c - 2 suy ra c = 1 Đặt f(x) = 1 + g(x) Khi đó (1) có dạng g(2x + 1) = 3g(x), (2) (Khi biểu thức bên trong có nghiệm khác thì ta phải xử lí cách khác). Từ 2x + 1 = x suy ra x = 1 Vậy đặt: x = -1 + t ta có 2x + 1 = -1 + 2t Khi đó (2) có dạng: g(-1 + 2t) = 3g(-1 + t) , Đặt: h(t) = g(-1 + 2t), ta được h(2t) = 3h(t) (3). Xét 2t = t t = 0, Xét 3 khả năng sau: +) Nếu t = 0 ta có h(0) = 1 +) Nếu t > 0 đặt thay vào (3) ta có Đến đây ta đưa về ví dụ hàm tuần hoàn nhân tính. +) Nếu t < 0 đặt thay vào (3) ta được Nhận xét: Bài toán tổng quát của dạng này như sau: TQ: Tìm hàm số f(x) sao cho: Khi đó phương trình ta chuyển điểm bất động về o, thì ta được hàm tuần hoàn nhân tính. + Nếu a = 0 bài toán bình thường. + Nếu a = 1 chẳng hạn xét bài toán sau: *) Tìm f(x) sao cho: f(2x + 1) = f(x) - 2, (1) Nghiệm 2x + 1 = x x = -1 nên đặt x = -1 + t thay vào (1) ta được f(-1 + 2t) = f(-1 + t) + 2, Đặt: g(t) = f(-1 + t) ta được g(2t) = g(t) + 2, (2) Từ tích chuyển thành tổng nên là hàm loga Ta có Vậy đặt: . Thay vào (2) ta có: . Đến đây bài toán trở nên đơn giản. VIII. Phương pháp 8. Phương pháp sử dụng hệ đếm Ta quy ước ghi m =(bibi-1b1)k nghĩa là trong hệ đếm cơ số k thì m = bibi-1b1 Bài1 (Trích IMO năm 1998): Tìm thoã mãn f(1) = 1, f(3) = 3, f(2n) = f(n), f(4n + 1) = 2f(2n + 1) - f(n), f(4n + 3) = 3f(2n + 1) - f(2n), (1) Giải: Tính giá trị của hàm số và chuyển sang cơ số 2 ta có thể dự đoán được: ", n = (bibi-1b1)2 thì f(n) = (b1b2bi)2” (*). Ta sẽ chứng minh (*) bằng quy nạp. + Với n = 1, 2, 3, 4 dể kiểm tra (*) đúng. + Giả sử (*)đúng cho k 4). Thật vậy, ta xét các khả năng sau: * Nếu n chẵn, n = 2m. Giả sử m = (bibi-1b1)2, khi đó n = 2m = (bibi-1b10)2 f(n) = f((bibi-1b10)2) = f(2m) = f(m) = f((bibi-1b1)2) = (b1b2bi)2 = = (0b1b2bi)2 suy ra (*)đúng. * Nếu n lẻ và n = 4m + 1. Giả sử m = (bibi-1b1)2, khi đó n = (bibi-1b101)2 f(n) = f((bibi-1b101)2) = f(4m + 1) = 2.f(2m + 1) - f(2m) = 2.f((bibi-1b11)2) - f((b1b2bi)2 ) = (10)2.(1b1b2bi)2 - (b1b2bi)2 = (1b1b2bi0)2 - (b1b2bi)2 = = (10b1b2bi)2 suy ra (*)đúng. * Nếu nlẻ và n = 4m + 3. Giả sử m = (bibi-1b1)2, khi đó n = (bibi-1b111)2 f(n) = f((bibi-1b111)2) = f(4m + 3) = 3.f(2m + 1) - 2.f(2m) = 3.f((bibi-1b11)2) - 2.f((b1b2bi)2 ) = (11)2.(1b1b2bi)2 - (10)2.(b1b2bi)2 = (11b1b2bi)2 suy ra (*)đúng. Vậy (*)đúng và hàm f được xác định như (*)> Bài 2.(Trích đề thi Trung Quốc) Tìm hàm số thoã mãn: a) f(1) = 1 (1) b) f(2n) < 6f(n) (2) c) 3f(n)f(2n+1) = f(2n)(3f(n) + 1), (3) Giải Vì f(n) nên (3f(n),3f(n) + 1) = 1. Từ (3) suy ra 3f(n)\f(2n). Kết hợp với (2) suy ra f(2n) = 3f(n) và f(2n+1) = 3f(n) + 1, Thử một số giá trị ta thấy f(n) được xác định như sau: "Với n = (b1b2bi)2 thì f(n) = (b1b2bi)3, " (*). Ta chứng minh (*) bằng phương pháp quy nạp. + Với n = 1, 2, 3, 4 thì hiển nhiên (*)đúng. + Giả sử (*)đúng cho k<n (với n4). Ta chứng minh (*)đúng cho n. Giả sử m = (c1c2cj)2 - Nếu n chẵn: n = 2m, thì n = 2m = (c1c2cj0)2. Khi đó f(n) = f(2m) = 3f(m) = 3.f((c1c2cj)2) = (10)3.(c1c2cj)3 = (c1c2cjo)3 (*) đúng chẵn. - Nếu n lẻ: n = 2m + 1, thì n = (c1c2cj1)2. Khi đó: f(n) = f(2m+1) = 3f(m) + 1 = 3.f((c1c2cj)2) + 1 = (10)3.(c1c2cj)3 + 13 = (c1c2cj1)3 (*) đúng cho n lẻ. Vậy (*)đúng cho mọi và f(n) được xác định như (*) Các tài liệu tham khảo: - Phương trình hàm - Tác giả: Nguyễn Văn Mậu - Hàm số và ứng dụng của hàm số - Tác giả: Phan Huy Khải - Một số chuyên đề toán học chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi - Trường ĐHKH Tự Nhiên Môc lôc Lêi nãi ®µu PhÇn 1: Nh÷ng kh¸i niÖm c¬ b¶n . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 PhÇn 2: C¸c ph­¬ng ph¸p th­êng dïng ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh hµm . . . . . . . . . . 5 - Phương pháp sử dụng tính liên tục của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 - Sử dụng tính chất nghiệm của một đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 - Hệ số bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 - Phương pháp dồn biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 - Phương pháp xét giá trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 14 - Sử dụng phương pháp sai phân để giải phương trình hàm . . . . . . . . .15 - Điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 - Phương pháp sử dụng hệ đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Tµi liÖu tham kh¶o