Bài giảng môn Hình học 8 - Chương III :Định lý ta – lét và tam giác đồng dạng

= AC.AM + Lại có: DABM ∽ DADN (g.g). Suy ra: (**) Từ (*); (**) suy ra: ∆AMN ∽ ∆BAC (c.g.c). Suy ra: (đpcm) c) Từ câu (a) suy ra: (4) Mặt khác: PABCD = 108cm. Suy ra: 2(AB + BC) = 108. Hay: AB + BC = 54 (5) Từ (4) và (5) suy ra: cm. Suy ra: SABCD = cm2 HƯỚNG DẪN a) Chứng minh . Suy ra: DABM ∽ DADN (g.g) b) Có: (1); . Mà: . Suy ra: . Hay: (2). Mặt khác: DABM ∽ DADN (g.g) Suy ra: (3) Từ (1); (2); (3) suy ra: (*) c. Cho AM = 16 cm; AN = 20 cm chu vi của hình bình hành bằng 108 cm. Tính diện tích của hình bình hành ABCD. Bài 16. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 2AB. Gọi M là trung điểm của BC, lấy D đối xứng của A qua M. a. Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật. b. Kẻ BE vuông góc với AD và MN vuông góc với AC, BE cắt AC và MN tại P và F. Chứng minh AE.AM = AP.AN. c. Chứng minh tứ giác AMCF là hình thoi. Tính diện tích AMCF nếu AB = 10cm. HƯỚNG DẪN a) Chứng minh ABDC có: M là TĐ của AD và BC. Lại có. Suy ra: ABDC là HCN. b) Chứng minh ∆AEP ∽ ∆ANM (g.g). Þ AE.AM = AP.AN c) Chứng minh ∆AMB là ∆ đều Þ + Trong ∆AMC cân tại M có MN ^ AC nên MN là phân giác Þ . Lại có: ∆ABM cân tại B có BE ^ AM. Suy ra: BE là trung trực của AM Þ FA = FM. Ta có: ∆AFM có FA = FM và nên ∆AFM là ∆ đều Þ ∆AFM cân tại A có AN ^ FM nên suy ra: AN là trung tuyến Þ N là trung điểm của FM (*). Lại có: Trong ∆CAB có M là trung điểm của BC; MN // AB Þ N là trung điểm của AC (**). Từ (*) và (**) suy ra: AMCF là hình bình hành. Lại có: AC ^ BD nên AMCF là hình thoi. Bài 17. Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Kẻ BE, DF vuông góc với AC (). 1. Chứng minh: ; Tứ giác BEDF là hình bình hành. 2. Gọi H và K thứ tự là hình chiếu của C lên AB và AD. Chứng minh: . HƯỚNG DẪN a) Chứng minh ∆ABE = ∆CDF (Cạnh huyền – Góc nhọn) Chứng minh FD = BE; FD // BE. Suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành. b) Chứng minh (g.g) c) Chứng minh (g.g) Þ Þ AB.AH = AE.AC (1). Lại có: Mà BC = AD nên (2) Lấy (1) + (2) ta được: 3. Chứng minh: . Bài 18. Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E. Kẻ . a/ Chứng minh: . b/ Chứng minh: . c/ Trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AF = AE. Tính . HƯỚNG DẪN a) Chứng minh (g.g) b) Chứng minh và cùng phụ với c) Chứng minh ∆DHA ∽ ∆AHE (g.g) Þ . Mà AD = DC; AE = AF ; Þ ∆AFH ∽ ∆DCH (cg.c) Þ . Mà: . Hay: = 900 Bài 19. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3 cm; BC = 4cm. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD. 1/ Chứng minh: . 2/ Tính độ dài đoạn thẳng DH. HƯỚNG DẪN a) Chứng minh ∆ABD = ∆DCA (c.c.c) Þ . Từ đó chứng minh được (g.g) b) Tính được BD = 5cm. Kết hợp với câu (a) cm. 3/ Gọi M; N theo thứ tự là các điểm thuộc các đoạn BH và CD sao cho . Chứng minh: . Từ đó suy ra: DH = 5 - cm. c) Có Tương tự: Hay: . Mặt khác: (c/m trên). Suy ra: (c.g.c) Bài 20. Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 6cm; AC = 9cm. Trên cạnh AB lấy một điểm D sao cho . Từ D kẻ đường thẳng song song với BC cắt cạnh AC ở E. a. Tính độ dài đoạn thẳng AD và AE. b. Tính diện tích tứ giác BDEC. b) Có: SBDEC = SABC – SADE = = 24cm2 c) Gọi M là trung điểm của BC. Gọi I là giao điểm của AO và DE. Có DI //MC nên ∆IOC ∽∆OMC. Suy ra: . Mà: . Suy ra: A; O; M thẳng hàng. c. BE cắt CD ở O. Chứng minh tia AO đi qua trung điểm của đoạn BC. HƯỚNG DẪN a) Có: Có: DE // BC nên: cm. Bài 21. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường cao AF, BE cắt nhau tại H. Từ A kẻ tia Ax vuông góc với AC, từ B kẻ tia By vuông góc với BC. Tia Ax và By cắt nhau tại K. a) Tứ giác AHBK là hình gì? Tại sao? b) Chứng minh: DHAE đồng dạng với DHBF. c) Chứng minh: CE . CA = CF . CB d) DABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác AHBK là hình thoi. HƯỚNG DẪN a) Chứng minh tứ giác AHBK có AH//BK và AK//BH. Suy ra: AHBK là hình bình hành. b) Chứng minh ∆HAE ∽ ∆HBE (g.g) c) Chứng minh ∆CEB ∽ ∆CFA (g.g) Þ CE.CA = CF.CB d) Tứ giác AHBK là hình thoi Û KH ^ AB Û C; K; H thẳng hàng Û CH ^ AB Û ∆ABC cân tại C. Bài 22. Cho tam giác vuông ABC (= 90o), đường cao AH. Biết BH = 4cm, CH = 9cm. a) Chứng minh: AB2 = BH . BC b) Tính AB, AC. c) Đường phân giác BD cắt AH tại E (D Î AC). Tính và chứng minh: . HƯỚNG DẪN a) Chứng minh ∆ABC ∽ ∆HBA (g.g) Þ b) Sử dụng kết quả câu (a) suy ra: AB = 2cm; AC = cm c) Chứng minh ∆EBH ∽ ∆DBA (g.g) Þ d) Sử dụng t/c đường phân giác trong ∆ABH và ∆ABC. Chứng minh được . Lại có: (câu a). Từ (1); (2) và (3) Suy ra: Bài 23. Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm F. Tia AF cắt BD và DC lần lượt ở E và G. Chứng minh: a) DBEF ∽ DDEA, DDGE ∽ DBAE. b) AE2 = EF . EG c) BF . DG không đổi khi F thay đổi trên cạnh BC. HƯỚNG DẪN a) Chứng minh: ; . Suy ra: ∆BEF ∽ ∆DEA (g.g). Chứng minh tương tự như trên: ∆DEG ∽ ∆BAE (g.g). b) Sử dụng định lý Ta-Lét chứng minh: . Từ (1) và (2) suy ra: c) Từ câu (a) ∆BEF ∽ ∆DEA (g.g) Þ . Lại có: ∆DEG ∽ ∆BAE (g.g) Þ Từ (1) và (2) suy ra: . Mặt khác: A; B; C; D cố định nên: không đổi. Do đó: không đổi khi F thay đổi trên cạnh BC. Bài 24. Cho hình thang ABCD (AB //CD) có CD = 2AB. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD, F là giao điểm hai cạnh bên AD và BC. Chứng minh OC = 2OA Điểm O là điểm đặc biệt gì trong tam giác FCD? Chứng minh. Một đường thẳng song song với AB và CD lần lượt cắt các đoạn thẳng AD, BD, AC, BC tại M, I, K, N. Chứng minh So sánh MI và NK. Þ O là trọng tâm ∆DFC HƯỚNG DẪN a) Do ABCD là hình thang nên AB//CD Þ Û OC = 2AO b) Có AB//CD nên . Suy ra: (1) Chứng minh tương tự: (2) c) Có: MI // AB Þ ; IN // CD . Từ (1) và (2) suy ra: d) Do: MI // AB nên (1); KN // AB nên (2). Mặt khác: (3). Từ (1); (2); (3) suy ra: Þ MI = MK. (ĐPCM) Bài 25. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Tia phân giác của góc AMB cắt AB tại E, tia phân giác của góc AMC cắt AC tại D. a) So sánh và . b) Gọi I là giao điểm của AM và ED. CM: I là trung điểm ED. c) Cho BC = 16cm, . Tính ED = ? d) Gọi F, K lần lượt là giao điểm EC với AM, DM. CMR: EF.KC = FK.EC HƯỚNG DẪN a) Áp dụng tính chất đường phân giác vào các ∆AMC và ∆AMB có: ; . Mặt khác: M là trung điểm của BC nên MB = MC (3). Từ (1); (2); (3) suy ra: b) Từ chứng minh câu (a): Þ ED // BC. Do EI // BM nên ta có: (1); Tương tự: (2). Mặt khác: M là trung điểm của BC nên MB = MC (3). Từ (1); (2); (3) suy ra: IE = ID. Hay I là trung điểm của ED. c) Có: . Lại có: (Do ED //BC). Suy ra: cm d) Có ME là phân giác ngoài của ∆MFC nên: (1). Tương tự: (2). Từ (1) và (2) (ĐPCM) Bài 26. Cho góc nhọn xAy. Trên cạnh Ax lấy 2 điểm B, C sao cho AB = 4cm, AC = 6cm. Trên cạnh Ay, lấy 2 điểm D, E sao cho AD = 2cm, AE = 12cm. Tia phân giác của góc xAy cắt BD tại I và cắt CE tại K. a) So sánh và HƯỚNG DẪN a) Có: ; Þ b) Từ câu (a) suy ra: và là góc chung nên ∆ABD ∽ ∆AEC (c.g.c) suy ra: = c) Chứng minh ∆AIB∽∆AKE (g.g). Suy ra: d) Từ (câu b) ∆ABD ∽ ∆AEC (c.g.c) suy ra: . Suy ra:. Trong ∆ABD có: AI là phân giác nên ta có: b) So sánh và c) CM: AI.KE = AK.IB d) Cho EC = 10 cm. Tính BD, BI. e) CM: KE.KC = 9IB.ID Hay: (cm) e) Có ∆AIB ∽ ∆AKE (g.g) (*). Lại có: ∆AID ∽ ∆AKC Þ (**) Từ (*) và (**) suy ra: (***). Từ (*) và (***) suy ra: Bài 27. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm, AC = 8cm. Từ B kẻ tia Bx song song với AC (tia Bx thuộc nửa mặt phẳng chứa C, bờ AB). Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại M và cắt tia Bx tại N. a) Chứng minh ∆ AMC ∽ ∆ NMB b) Chứng minh c) Từ N kẻ NP vuông góc với AC (PAC), NP cắt BC tại I. Tính độ dài các đoạn thẳng BI, IC, NI, IP. HƯỚNG DẪN a) Chứng minh ∆ AMC ∽ ∆ NMB (g.g) b) Từ gt AM là phân giác Þ (1) Lại có: AC// Bx Þ (2). Từ (1) và (2) suy ra đpcm. c) Tính được: BC = 10 cm; + Chứng minh tứ giác ABNP có 3 góc vuông nên là HCN. Mà HCN ABNP có AM là phân giác của nên là hình vuông. Suy ra AP = AB = 6 cm Suy ra: PC = 2 cm. Ta có: PI // AB Þ Þ BI = cm. Suy ra: CI = BC – BI = 10 – = cm Lại có: PI // AB Þ Þ PI = cm Chứng minh ∆PCI ∽ ∆NBI (g.g) Þ Þ NI = cm Bài 28. Cho tam giác ABC vuông tại A; AB = 15cm, AC = 20cm, đường cao AH. a) Chứng minh: DHBA đồng dạng với DABC. b) Tính BC, AH. c) Gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ hình bình hành ADCE. Tứ giác ABCE là hình gì? Tại sao? d) Tính AE. e) Tính diện tích tứ giác ABCE HƯỚNG DẪN a) Chứng minh DHBA ∽ DABC (g.g) b) Tính được BC = 25 cm. Có: SABC = cm c) Tứ giác AECB có AE // BC nên là hình thang (*). Lại có: AECD là HBH (gt) Þ AD // EC Þ (1). Do D đối xứng với B qua H. Suy ra H là trung điểm của BD. Mặt khác: AH ^ BD tại H. Nên ∆ABD cân tại A Þ (2). Từ (1) và (2) suy ra: (**). Từ (*) và (**) suy ra: ABCE là hình thang cân. d) Có: ∆HBA ∽ ∆ABC (g.g) cm. Suy ra: BD = 2BH = 2.9 = 18 cm. Suy ra: CD = 7 cm. Mà ADCE là hình bình hành suy ra: CD = AE. Suy ra: AE = 7 cm. e) Ta có: cm2 Bài 29. Cho ∆ABC (AB > AC) có 3 góc nhọn và hai đường cao BD và CE ( D Î AC; E Î AB). Chứng minh rằng: ∆ADB ∽ ∆AEC; Chứng minh rằng: ∆ADE ∽ ∆ABC; Tia ED cắt BC tại M. Chứng minh rằng: DM.ME = MB.MC; HƯỚNG DẪN a) Chứng minh ∆ADB ∽ ∆AEC (g.g) b) Từ chứng minh câu (a) suy ra: . Suy ra: ∆ADE ∽ ∆ABC (c.g.c) Vẽ MK //AB; MH // AC ( K thuộc tia AC; H thuộc tia BA). Chứng minh rằng: c) Từ chứng minh câu (b) ∆ADE ∽ ∆ABC (c.g.c) Þ . Suy ra: (Cùng bù với hai góc bằng nhau). Từ đó chứng minh được: ∆MCD ∽ ∆MEB (c.g.c) . d) Do MH // AC Þ (1); MK //AB (2). Từ (1) và (2) suy ra: Bài 30. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH = 4cm; HC = 9cm. a/ Chứng minh: . b/ Gọi D và E là hình chiếu của H trên AB và AC. Tính DE. c/ Đường thẳng vuông góc với DE tại D và E cắt BC lần lượt ở M và N. Chứng M là trung điểm của BH; N là trung điểm của HC. HƯỚNG DẪN a) Chứng minh (Do cùng phụ với ). Suy ra: ∆ABH ∽ ∆CAH (g.g) b) Từ chứng minh câu (a) suy ra: cm. Tứ giác ADHE có nên là hình chữ nhật. Suy ra: AH = DE. Suy ra: DE = 6 cm. c) Do DE ^ EN tại E nên . Suy ra: . Mà: nên (1) Chứng minh ∆ADE ∽ ∆ACB (c.g.c) suy ra: (2). Từ (1) và (2) suy ra: . Từ đó suy ra ∆NEC cân tại N. Hay: NE = NC. (*) Lại có: ; nên. Suy ra: ∆NHE cân tại N. Hay: NE = NH (**). Từ (*) và (**) suy ra: NH = NC. Hay N là trung điểm của HC. Chứng minh tương tự như trên ta cũng có: M là trung điểm của BH.