Bài giảng môn Đại số 10 - Bất phương trình 1 ẩn

BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1 ẨN KHÁI NIỆM BPT 1 ẨN BPT 1 ẩn: BPT ẩn x là mệnh đề chứa biến dạng fx<g(x), fx≤g(x) (1) Trong đó fx và g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi fx và g(x) lần lượt là vế trái và vế phải của BPT (1). Số thực x0 sao cho fx0<g(x0), fx0≤g(x0) là mệnh đề đúng được gọi là 1 nghiệm của BPT (1). Giải BPT là tìm tập nghiệm của nó. Khi BPT có tập nghiệm rỗng thì ta nói nó vô nghiệm. Điều kiện của một BPT Ta gọi các điều kiện của ẩn số x để fx và g(x) có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của BPT (1). Chú ý: Phân thức: ab, b≠0 Căn thức chẵn: a , 4a , 6a , a≥0. Các căn thức chẵn luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Căn thức lẻ: 3a ,5a ,.a tùy ý. VD1: Tìm các giá trị của x thoả mãn điều kiện của mỗi BPT sau: 1x<1-1x+1 Giải: Bất phương trình có nghĩa ⇔x≠0x+1≠0 ⇔x≠0x≠-1 Vậy giá trị cần tìm là x∈R\-1;0 Bài 1: Tìm các giá trị của x thoả mãn điều kiện của mỗi BPT sau: a) 1x2-4≤xx2-4x+3 b) 2x-1+3x-13x+1x+4 BPT chứa tham số Trong 1 BPT ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. Giải và biện luận BPT chứa tham số là xét xem với các giá trị của tham số thì BPT vô nghiệm hay có nghiệm và tìm các nghiệm đó. VD: 2m-1x+3<0, x2-mx+1≥0 là những BPT ẩn x tham số m. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BPT BPT tương đương 2 BPT có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là 2 BPT tương đương và dùng kí hiệu "⇔" để chỉ sự tương đương của 2 BPT đó. Phép biến đổi tương đương Để giải 1 BPT ta liên tiếp biến đổi nó thành những BPT tương đương cho đến khi được BPT đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương. Cộng (trừ) Px<Qx⇔Px+fx<Qx+f(x) Cộng (trừ) 2 vế của BPT với cùng 1 biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của BPT ta được 1 BPT tương đương: Px<Qx+fx⇔Px-fx<Qx NX: Nếu cộng 2 vế của BPT Px<Qx+f(x) với biểu thức -f(x) ta được BPT: Px-fx<Qx. Do đó Như vậy chuyển vế và đổi dấu 1 hạng tử trong 1 BPT ta được 1 BPT tương đương. Nhân (chia) Nhân (chia) 2 vế của BPT với cùng 1 biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà không làm thay đổi điều kiện của BPT) ta được 1 BPT tương đương. Nhân (chia) 2 vế của BPT với cùng 1 biểu thức luôn nhận giá trị âm dương (mà không làm thay đổi điều kiện của BPT) và đổi chiều BPT ta được 1 BPT tương đương. Px0, ∀x PxQx.fx nếu fx<0, ∀x Bình phương Px<Qx⇔P2x<Q2x nếu Px≥0,Qx≥0 , ∀x Nếu 2 vế của BPT không âm và bình phương 2 vế BPT đó mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được 1 BPT tương đương. Chú ý Khi biến đổi các biểu thức ở 2 vế của 1 BPT thì điều kiện của BPT có thể bị thay đổi. Vì vậy, để tìm nghiệm của 1 BPT ta phải tìm các giá trị của x thỏa mãn điều kiện của BPT đó và là nghiệm của BPT mới. Khi thực hiện phép nhân (chia) 2 vế của BPT Px<Qx với biểu thức fx ta cần lưu ý đến điều kiện về dấu của fx. Nếu fx nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến 1 hệ BPT. Khi giải BPT Px<Qx mà phải bình phương 2 vế thì ta lần lượt xét 2 trường hợp: Px,Qx cùng có giá trị dương, ta bình phương 2 vế BPT. Px,Qx cùng có giá trị âm thì ta viết -Px>-Qx rồi bình phương 2 vế BPT mới. VD2: Giải các BPT sau: 3x+12-x-23<1-2x4 Giải: Bất phương trình tương đương 3x+12-x-23-1-2x4<0⇔63x+112-4x-212-31-2x12<0 ⇔63x+1-4x-2-31-2x12<0⇔18x+6-4x+8-3+6x12<0 ⇔20x+1112<0⇔20x+11<0⇔20x<-11⇔x<-1120 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S=-∞;-1120 Bài 2: Giải các BPT sau: 2x-1x+3-3x+1≤x-1x+3+x2-5 c) DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng fx=ax+b , trong đó a, b là 2 số đã cho, a≠0. Ta có: Nhị thức cùng dấu với a khi x lớn hơn nghiệm xo=-ba Nhị thức trái dấu với a khi x nhỏ hơn nghiệm xo=-ba. x – + f(x) (Trái dấu với hệ số a) 0 (Cùng dấu với hệ số a) Chú ý: Cách nhẩm nghiệm: 𝑎x2+bx+c=0 Nếu a+b+c=0 thì PT có 2 nghiệm x1=1, x2=ca nên ax2+bx+c=ax-1x-ca Nếu a-b+c=0 thì PT có 2 nghiệm x1=-1, x2=-ca nên ax2+bx+c=ax+1x+ca Các hằng đẳng thức đáng nhớ: Bình phương của một tổng: Bình phương của một hiệu: Hiệu hai bình phương: Lập phương của một tổng: Lập phương của một hiệu: Tổng hai lập phương: Hiệu hai lập phương: VD3: Giải các BPT sau: 3x-1-1x+2<0 Giải: Điều kiện: x-1≠0x+2≠0⇔x≠1x≠-2 Bất phương trình tương đương: 3x+2-x-1x-1x+2<0⇔2x+7x-1x+2<0 Đặt fx=2x+7x-1x+2 , fx=0⇔2x+7=0⇔x=-72 . Xét dấu f(x) x -∞ -72 -2 1 +∞ f(x) - 0 + || - || + Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S=-∞;-72∪(-2;1) Bài 3: Giải các BPT sau: a) b) c) d) Bài 4: Giải các BPT sau: a) b) 2 2x-3-12x+1>0 c) 2x-1x-2-14x+2≤0 d) 4x-14-x2>0 Bài 5: Giải các BPT sau: a) x-2x+62x+5≤0 b) x-15-xx2-3x+2≤0 c) xx-1x+2<0 Bài 6: Giải các BPT sau: a) -4x+13x+1≤-3 b) x2+2xx2-4≤0