Bài giảng Lời giải một số bài toán về tính tổng tổ hợp có sử dụng đạo hàm

Lêi gi¶i mét sè bµi to¸n vÒ tÝnh tæng tæ hîp cã sö dông ®¹o hµm Tính các tổng sau : a) Giải: Ta có lời giải như sau: Xét Lấy đạo hàm hai vế ta được: Cho ta được hay . Bình luận: Trong lời giải trên ta đã dựa vào nhận xét sau: ta có , số mũ của x bằng “chỉ số trên’’ nên xét khai triển:,lấy đạo hàm cấp 1,rồi cho x = 5 b) . Giải: Ta có lời giải như sau: Xét Lấy đạo hàm hai vế ta được: Lấy tiếp đạo hàm hàm hai vế ta được Cho x = 1 ta được: hay . Bình luận:Trong lời giải trên ta đã dựa vào nhận xét sau: Trong số hạng ta thấy có tích k(k-1) là hai số liên tiếp có được nhờ lấy đạo hàm cấp 2 của và số mũ của x bằng “chỉ số trêni’’ ,số mũ của 2 bằng ‘’chỉ số dưới – chỉ số trên ’’ nên xét khai triển và lấy đến đạo hàm cấp 2 rồi chon x = 1. c) Giải: Xét Lấy đạo hàm hai vế ta được: Nhân cả hai vế với x ta được Lấy đạo hàm hai vế ta được: Cho x = 1 ta được = Bình luận: Trong lời giải trên ta đã dựa vào nhận xét sau: không có mặt của ; số hạng tổng quát có dạng có chứa tích của hai thừa số k và thừa số k.k có được nhờ lấy đạo hàm của 2 lần nhưng. sau khi lấy đạo hàm 1 lần thì trong số hạng tổng quát chỉ còn nên ta phải nhân hai vế với x để lại có được . d) . Giải: Ta có Ta có Xét Lấy đạo hàm hai vế ta được: Cho ta được . Vậy Bình luận: Trong lời giải trên ta dựa vào nhận xét sau: trong số hạng tổng quát thừa số 3k + 2 không liên quan trực tiếp đến số mũ của trong nên ta biến đổi . Từ đó tách Rút gọn các tổng sau : a) Giải: Xét Lấy đạo hàm hai vế ta được: Cho ta được . b) ; Giải: Xét Lấy đạo hàm hai vế ta được: Cho ta được . Vậy Bình luận: Trong lời giải trên ta dựa vào nhận xét sau: trong số hạng tổng quát thừa số k +1 hơn số mũ của trong nên ta biến đổi . Từ đó tách Cách 2: : Nhìn vào số hạng cuối cùng chỉ số trên và dưới cao nhất là n ta không thể sử dụng mà ta phải sử dụng khai triển của . Mặt khác trong thừa số n + 1 có được nhờ lấy đạo hàm của tại x = 1 nhưng số mũ cao nhất là nên ta nâng số mũ của nên 1 đơn vị bằng cách trong khai triển của ta nhân 2 vế với x rồi mới lấy đạo hàm tại x = 1., cụ thể như sau: Giải: Xét Nhân hai vế với x ta được: Lấy đạo hàm hai vế ta được: Cho ta được .. (*) Rút gọn các tổng sau : . Giải: Xét Nhân hai vế với ta có Lấy đạo hàm hai vế ta được: Cho ta được Bình luận: Trong lời giải trên ta dựa vào nhận xét sau: nhìn vào số hạng cuối cùng ta thấy:thừa số 200 liên quan đến số mũ của nên ta nghĩ nhưng “chỉ số ở dưới” của C là 100 và chỉ số trên cao nhất cũng bằng 100 nên số mũ cao nhất chỉ là ta phải nâng lũy thừa thành bằng cách nhân cả hai vế với của khai triển với . b) . Giải: Xét khai triển Lấy đạo hàm hai vế ta được: Lấy tiếp đạo hàm hai vế ta được: Cho x = 1 ta được Bình luận: Trong lời giải trên ta dựa vào nhận xét sau: Nhìn vào số hạng bất kì, giả sử số hạng: ta thấy . Và có số mũ bằng “chỉ số dưới - chỉ số trên”, các số hạng khác cũng có đặc điểm như vậy, dấu + - đan xen, nên ta xét khai triển và lấy đến đạo hàm cấp 2 tại x = 1 c) . Xét khai triển: Lấy đạo hàm hai vế ta được: Nhân cả hai vế với x ta được: Lấy đạo hàm hai vế ta được: Cho x = 1 ta được d) . Xét khai triển Xét Xét khai triển: Xét Cho x= 1, n = 2010 ta được P = 0; Xét khai triển: Lấy đạo hàm hai vế ta được: Cho x = 1, n = 2010 t được: Vậy: . Nhận xét: Trong lời giải trên ta dựa vào nhận xét sau Nhìn vào số hạng ta thấy chỉ số trên là 2010 và : nên ta tách thành tổng của P và Q như sau: Cho số nguyên n thỏa mãn đẳng thức . Tính tổng : . (Dự bị B1 – 2008) . Xét Lấy đạo hàm hai vế ta được: Nhân cả hai vế với x ta được Lấy đạo hàm hai vế ta được: Cho x = 1 ta được = = 0 Vậy . Chứng minh rằng với n là số nguyên dương , ta luôn có : (Dự bị D1 – 2008) . Xét Lấy đạo hàm hai vế ta có: Nhân cả hai vế với x ta có: Cho x = 2 ta được: ( ĐCCM) Nhận xét trong lời giải trên đã sử dụng nhận xét : Nhìn vào số hạng bất kì, giả sử số hạngta thấy: (n-2) có được bằng cách lấy đạo hàm của ,số mũ của , bằng” chỉ số dưới – chỉ số trên” nên lấy đạo hàm của khai triển tại x = 2 tuy nhiên nếu lấy đạo hàm ngay ta được thì so sánh hai số hạng tương ứng và ta thấy không tìm được x vì số mũ của và khác nhau. Từ đó ta ko lấy đạo hàm ngay mà ta nâng lũy thừa của thành bằng cách nhân hai vế của khai triển của với x rồi mới lấy đạo hàm, sau đó cho x = 2. Tìm số nguyên dương n sao cho : Xét khai triển Lấy đạo hàm hai vế ta có: Nhân cả hai vế với – 1 ta có Cho x= 2 ta được: Theo bài ra ta có Nhận xét trong lời giải trên đã sử dụng nhận xét : Nhìn vào số hạng ta thấy: là đạo hàm của tại x = 2, số mũ của bằng chỉ số trên, dấu đan xen nên ta xét khai triển và lấy đạo hàm ta được . Tuy nhiên so sánh và dấu trong tổng đề bài cho là + nhưng trong đạo hàm là dấu – nên trong lời giải trên ta đã nhân hai vế với – 1 trước khi chọn x = 2