Bài giảng Hình học Lớp 12 - Chương III: Phương pháp tọa độ trong không gian - Bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian

HÌNH HỌC 12 Chương III : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Click Bài 3 : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I. Phương trình tham số của đường thẳng Trong không gian cho điểm M 0 (1;2;3) và 2 điểm M 1 (1+t;2+t;3+t) ; M 2 (1+2t;2+2t;3+2t) di động với tham số t . Chứng tỏ rằng 3 điểm đó luôn thẳng hàng . Giải : Xét và Vậy Chứng tỏ 3 điểm đó thẳng hàng Định lí : Trong không gian Oxyz cho đường thẳng đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và nhận làm vectơ chỉ phương .Điều kiện cần và đủ để điểm M(x;y;z) nằm trên là có một số thực t sao cho : Chứng minh : Xét Điểm M nằm trên khi và chỉ khi cùng phương với Nghĩa là hay Điều đó tương đương với : Click Định nghĩa : Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và có vectơ chỉ phương là phương trình có dạng (t tham số) Chú ý : Nếu a 1 ; a 2 ; a 3 đều khác 0 thì người ta viết phương trình đường thẳng dưới dạng chính tắc : Ví dụ 1 : Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M(1;2;3) và có vectơ chỉ phương Giải : Ta có phương trình tham số của : Ví dụ 2 : Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(1;-2;3) và B(3;0;0) Giải : AB có vectơ chỉ phương : Vậy phương trình tham số của AB là : Click Ví dụ 3 : Chứng minh đường thẳng d : vuông góc với mặt phẳng ( ) : 2x + 4y + 6z + 9 = 0 Giải : d có vectơ chỉ phương : ( ) có vectơ pháp tuyến : Vậy ta có : Nên d  ( ) Cho đường thẳng có phương trình tham số : Hãy tìm tọa độ một điểm M trên đường thẳng và tọa độ một vectơ chỉ phương của Ví dụ áp dụng tại lớp : Giải : Tọa độ điểm M (-1;3;5) có vectơ chỉ phương : Hỏi : Các điểm sau có thuộc không ? Vectơ nào là vectơ chỉ phương của ? M 1 (-2 ; 6 ; 10) M 2 (1 ; 0 ; 9) M 3 (-3 ; 6 ; 1) Click II. Điều kiện để hai đường thẳng song song , cắt nhau , chéo nhau Cho 2 đường thẳng d và d’ có phương trình tham số , lần lượt là : và a) Hãy chứng tỏ điểm M(1;2;3) là điểm chung của d và d’ . b) Hãy chứng tỏ d và d’ có 2 vectơ chỉ phương không cùng phương / Giải : a) Thế tọa độ M vô phương trình d và d’ và Vậy M là điểm chung của d và d’ b) Tìm vectơ chỉ phương của d và d’ d có vectơ chỉ phương : d’ có vectơ chỉ phương : Vậy : Nên d và d’ không cùng phương : Click 1. Điều kiện để hai đường thẳng song song : Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng d và d’ có phương trình tham số : và M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) d d song song với d’ khi và chỉ khi : d trùng với d’ khi và chỉ khi : d d’ . M Ví dụ 1 : Chứng minh 2 đường thẳng sau đây song song Giải : d có vectơ chỉ phương : và M(1;0;3) d d’ có vectơ chỉ phương : Click Ví dụ áp dụng : Chứng minh 2 đường thẳng sau đây trùng nhau * HD : tìm 2. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau : * d cắt với d’ khi và chỉ khi hệ phương trình sau có đúng 1 nghiệm : Chú ý : Nếu (1) có nghiệm (t 0 ; t 0 ’) để tìm giao điểm M 0 của d và d’ ta thay t 0 vào phương trình tham số d hoặc t’ 0 vào d’ Click Ví dụ 2 : Tìm giao điểm của 2 đường thẳng sau : Giải : Xét hệ phương trình : Vậy có : M(0;-1;4) 3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau : * d chéo nhau với d’ khi và chỉ khi không cùng phương và hệ phương trình sau vô nghiệm Click Ví dụ 3 : Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng : Giải : Xét hệ phương trình : Hệ vô nghiệm Ta có : Nên d và d’ không cùng phương Vậy d và d’ chéo nhau Click Ví dụ 4 : Chứng minh 2 đường thẳng sau đây vuông góc : Giải : d và d’ có vectơ chỉ phương : Ta có : Vậy : d  d’ Nhận xét : Trong không gian Oxyz cho mp ( ) : Ax + By + Cz + D = 0 và đt d : Xét phương trình : A(x 0 + ta 1 ) + B(y 0 + ta 2 ) + C(z 0 + ta 3 ) + D = 0 (1) t là ẩn +) Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì d và ( ) không có điểm chung d // ( ) +) Nếu phương trình (1) có đúng 1 nghiệm t = t 0 thì d cắt ( ) tại M(x 0 +t 0 a 1 ; y 0 +t 0 a 2 ; z 0 +t 0 a 3 ) = d  ( ) +) Nếu phương trình (1) có vô số nghiệm thì d thuộc ( ) Click d ) d ) M d ) Ví dụ áp dụng : Tìm số giao điểm của mp ( ) : x + y + z - 3 = 0 với đt d : Giải : thế tọa độ (x ; y ; z) của d vô ( ) , tìm t = ? +) ta có (2 + t) +(3 - t) + (1) - 3 = 0 0.t = -3 VN d không cắt ( ) +) ta có (1 + 2t) +(1 - t) + (1 - t) - 3 = 0 0.t = 0 VSN d nằm trong ( ) +) ta có (1 + 5t) +(1 - 4t) + (1 +3 t) - 3 = 0 4.t = 0 d  ( ) = M(1;1;1) Click III. Củng cố dặn dò : 1. Bài tập trắc nghiệm : Bài 1 : Cho đường thẳng đi qua điểm M(2;0;-1) và có vectơ chỉ phương Phương trình tham số của đường thẳng là : Bài 2 : Cho đường thẳng d đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với mặt phẳng : ( ) : 4x + 3y – 7z + 1 = 0 . Phương trình tham số của d là : Click (A) : d 1  d 2 Bài 3 : Cho 2 đường thẳng : Trong các mệnh đề sau , mệnh đề nào đúng ? (B) : d 1 // d 2 (C) : d 1  d 2 (D) : d 1 chéo d 2 Bài 4 : Cho mặt phẳng ( ) : 2x + y + 3z + 1 = 0 và đường thẳng d có phương trình tham số Tìm mệnh đề đúng ? (A) : d  ( ) (B) : d cắt ( ) (C) : d  ( ) (D) : d // ( ) Click 2. Bài tập : Bài tập về nhà 1;2;3;4;5;6 ;7;8;9;10 trang 89 ; 90 ; 91 sgk hh12 Chúc vạn sự như ý!