Bài giảng Hình học 11 - Chứng minh một đẳng thức vectơ

: AD. c) CMR: (SAC)(SBD). d) Tính sin của gĩc giữa SD và (SAC), cơsin của gĩc giữa SC và (SBD). 13. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ ABCD là hình thang vuơng tại A, AB = BC = a và . Hai mặt bên SAB, SAD cùng vuơng gĩc với mặt đáy và SA = a. a) CMR: BC mp(SAB). b) CMR: CD. c) Tính gĩc giữa SC và (ABCD), SC và (SAB), SD và (SAC). d) Tính gĩc giữa mp(SBC) và mp(ABCD) 14. Cho hình chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật, (SAB) (ABCD), AB = a, AD = . a) CMR: SA (ABCD), (SAD) (SCD) b) AH là đường cao. CMR: AH (SBC), (SBC) (AHC) c) CMR: DH SB d) Tính gĩc giữa (SAC) và (SAD) 15. Cho hình chĩp S.ABCD đáy là hình vuơng tâm O cạnh a, SA = a, SA (ABCD) a) CMR: (SAB) (SAD); (SBC) (SAB); (SCD) (SAD) b) CMR: (SAC) (SBD) c) Gọi AI, AJ là đường cao SAB, SAC. CMR: (SCD) (AI J) d) Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) & (ABCD), (SBD) & (ABCD) 16. Cho hình vuơng ABCD cạnh a. Gọi I, J là trung điểm AB, CD. Trên đường thẳng vuơng gĩc (ABCD) tại I lấy S. a) CMR: BC (SAB), CD (SI J) b) CMR: (SAD) (SBC), (SAB) (SI J) c) Gọi M là trung điểm BC. CMR: (SIM) (SBD) d) SI = a. Tính gĩc giữa (SCD) và (ABCD) 17. Cho h`chĩp đều S.ABCD, O là tâm ABCD. Gọi I là trung điểm AB, cho SA = a, AB = a. a) CMR: (SAC) (SBD), (SOI) (ABCD) b) CMR: (SIO) (SCD) c) Gọi OJ là đường cao SOI. CMR: OJ SB d) Gọi BK là đường cao SBC. CMR: (SCD) (BDK) e) Tính gĩc giữa mặt bên và mặt đáy. 18. Cho hình chĩp S.ABCD đáy là hình vuơng cạnh a tâm O. Cho (SAB) (ABCD), (SAD) vuơng gĩc với (ABCD). a) CMR: SA (ABCD), BD (SAC) b) Gọi AH, AK là đường cao. CMR: AH BD, AK (SCD) c) CMR: (SAC) (AHK) d) Tính gĩc giữa (SAC) và (SCD) (biết SA = a) 19. Cho hình chĩp S.ABCD đáy là hình vuơng cạnh a tâm O. SA (ABCD), SA = a. a) CMR: các mặt bên hình chĩp là các tam giác vuơng b) CMR: BD SC c) Tính gĩc giữa SC & (ABCD); (SBD) & (ABCD) d) Tính gĩc giữa (SCD) & (ABCD). 20. Cho hình chĩp S. ABC cĩ đáy ABC là tam giác tại C và SB (ABC), biết AC = a, BC = a, SB = 3a. Chứng minh: AC (SBC) Gọi BH là đường cao của tam giác SBC. Chứng minh: SA BH. Tính gĩc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) 21. Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng . Gọi O là tâm của hình vuơng ABCD, M là trung điểm của SC. Chứng minh: (MBD) (SAC) Tính gĩc giữa SA và mp(ABCD) . Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD). Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) VẤN ĐỀ 8: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau * Phương pháp: Dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b. Cách 1: Giả sử a ^ b: · Dựng mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc với a tại A. · Dựng AB ^ b tại B Þ AB là đoạn vuông góc chung của a và b. Cách 2: Sử dụng mặt phẳng song song. · Dựng mặt phẳng (P) chứa b và song song với a. · Chọn M Ỵ a, dựng MH ^ (P) tại H. · Từ H dựng đường thẳng a¢ // a, cắt b tại B. · Từ B dựng đường thẳng song song MH, cắt a tại A. Þ AB là đoạn vuông góc chung của a và b. Chú ý: d(a,b) = AB = MH = a(a,(P)). Cách 3: Sử dụng mặt phẳng vuông góc. · Dựng mặt phẳng (P) ^ a tại O. · Dựng hình chiếu b¢ của b trên (P). · Dựng OH ^ b¢ tại H. · Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b tại B. · Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a tại A. Þ AB là đoạn vuông góc chung của a và b. Chú ý: d(a,b) = AB = OH. Cho hình tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC = a. Gọi I là trung điểm của BC. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng: a) OA và BC. b) AI và OC. HD: a) b) Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SA ^ (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: a) SC và BD. b) AC và SD. HD: a) b) Cho tứ diện SABC có SA ^ (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, Bc đồng qui. b) Chứng minh SC ^ (BHK), HK ^ (SBC). c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA. HD: c) Gọi E = AH Ç BC. Đường vuông góc chung của BC và SA là AE. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, I là trung điểm của AB. Dựng IS ^ (ABCD) và IS = . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, SD, SB. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng: a) NP và AC b) MN và AP. HD: a) b) VẤN ĐỀ 9: Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song * Để tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) ta cần xác định đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng). Cho hình chóp SABCD, có SA ^ (ABCD) và SA = a, đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kinh AD = 2a. a) Tính các khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (SCD). b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC). c) Tính diện tích của thiết diện của hình chóp SABCD với mặt phẳng (P) song song với mp(SAD) và cách (SAD) một khoảng bằng . HD: a) d(A,(SCD)) = a; d(B,(SCD)) = b) c) Cho hình lăng trụ ABC.A¢B¢C¢ có AA¢ ^ (ABC) và AA¢ = a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a. a) Tính khoảng cách từ AA¢ đến mặt phẳng (BCC¢B¢). b) Tính khoảng cách từ A đến (A¢BC). c) Chứng minh rằng AB ^ (ACC¢A¢) và tính khoảng cách từ A¢ đến mặt phẳng (ABC¢). HD: a) b) c) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là h`v cạnh a, SA ^ (ABCD) và SA = 2a. a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC), từ C đến mp(SBD). b) M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Chứng minh rằng MN song song với (SBD) và tính khoảng cách từ MN đến (SBD). HD: a) ; b) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và . Gọi O là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng SO ^ (ABCD) và SO = . Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE. a) Chứng minh (SOF) ^ (SBC). b) Tính các khoảng cách từ O và A đến (SBC). HD: b) d(O,(SBC)) = , d(A,(SBC)) = . BÀI TẬP TỔNG HỢP HÌNH HỌC 11 CHƯƠNG III Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a , SA đáy , SA = a. Chứng minh rằng các mặt bên hình chĩp là những tam giác vuơng. CMR (SAC) (SBD) . Tính gĩc giữa SC và mp ( SAB ) . Tính gĩc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD) Tính d(A, (SCD)) . Cho hình chĩp S. ABC cĩ đáy ABC là tam giác tại C và SB (ABC), biết AC = a, BC = a, SB = 3a. Chứng minh: AC (SBC) Gọi BH là đường cao của tam giác SBC. Chứng minh: SA BH. Tính gĩc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) Hình chĩp S.ABC. DABC vuơng tại A, gĩc = 600 , AB = a, hai mặt bên (SAB) và (SBC) vuơng gĩc với đáy; SB = 2a. Hạ BH ^ SA (H Ỵ SA); BK ^ SC (K Ỵ SC). a) CM: SB ^ (ABC) b) CM: (BHK) ^ SC. c) CM: DBHK vuơng . d) Tính cosin của gĩc tạo bởi SA và (BHK). Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng . Gọi O là tâm của hình vuơng ABCD. Và M là trung điểm của SC. Chứng minh: (MBD) (SAC) Tính gĩc giữa SA và mp(ABCD) . Tính gĩc giữa hai mặt phẳng ( MBD) và (ABCD). Tính gĩc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và (ABCD) Cho hình lăng trụ ABC.A¢B¢C¢ cĩ AA¢ ^ (ABC) và AA¢ = a, đáy ABC là tam giác vuơng tại A cĩ BC = 2a, AB = a. a) Tính khoảng cách từ AA¢ đến mặt phẳng (BCC¢B¢). b) Tính khoảng cách từ A đến (A¢BC). c) Chứng minh rằng AB ^ (ACC¢A¢) và tính khoảng cách từ A¢ đến mặt phẳng (ABC¢). Hình chĩp S.ABC. DABC vuơng tại A, gĩc = 600 , AB = a, hai mặt bên (SAB) và (SBC) vuơng gĩc với đáy; SB = 2a. Hạ BH ^ SA (H Ỵ SA); BK ^ SC (K Ỵ SC). a) CM: SB ^ (ABC) b) CM: mp(BHK) ^ SC. c) CM: DBHK vuơng . d) Tính cosin của gĩc tạo bởi SA và (BHK). Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng . Gọi O là tâm của hình vuơng ABCD. Và M là trung điểm của SC. a) Chứng minh: (MBD) (SAC) b) Tính gĩc giữa SA và mp(ABCD) . c) Tính gĩc giữa hai mặt phẳng ( MBD) và (ABCD). d) Tính gĩc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và (ABCD) Cho hình lăng trụ ABC.A¢B¢C¢ cĩ AA¢ ^ (ABC) và AA¢ = a, đáy ABC là tam giác vuơng tại A cĩ BC = 2a, AB = a. a) Tính khoảng cách từ AA¢ đến mặt phẳng (BCC¢B¢). b) Tính khoảng cách từ A đến (A¢BC). c) Chứng minh rằng AB ^ (ACC¢A¢) và tính khoảng cách từ A¢ đến mặt phẳng (ABC¢). Bài 9. Cho h`chĩp S.ABCD cĩ đáy là HCN, tâm O và AB = SA = a,BC =, SA(ABCD) a. Chứng minh các mặt bên của hình chĩp là những tam giác vuơng. b. Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO(ABCD) c. Tính gĩc giữa SC và (ABCD). Bài 10. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng tâm O cạnh bằng 1 và các cạnh bên bằng nhau và bằng . a. Chứng minh (SBD) (SAC) b. Tính độ dài đường cao của hình chĩp. c. Tính gĩc giữa cạnh bên và mặt đáy. Bài 11. Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC tại A, SA = AB = AC = a , SA (ABC) a. Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh BC (SAI) b. Tính SI c. Tính gĩc giữa (SBC) và mặt đáy. Bài 12. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng, tâm O và SA (ABCD) . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của A lên SB, SD. a. Chứng minh BC (SAB), BD (SAC) b. Chứng minh SC (AHK) c. Chứng minh HK (SAC) Bài 13. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thoi, tâm O và SA = SC, SB = SD. a. Chứng minh SO (ABCD) b. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh IKSD Bài 14. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a, tâm O, SA = a và SA(ABCD) a. Tính khoảng cách từ A đến (SBD). b. Chứng minh (SBC) (SAB) c. Tính khoảng cách từ C đến (SBD). Bài 15. Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ cạnh bên bằng a, SA = a, SA vuơng gĩc với cạnh BC, khoảng cách từ S đến cạnh BC là a.Gọi M trung điểm BC. a) CMR: BC vuơng gĩc với (SAM) b) Tính chiều cao của hình chĩp c) Dựng và tính đoạn vuơng gĩc chung của SA và BC. Bài 16. Tứ diện S.ABC cĩ gĩc ABC = 1v, AB = 2a, BC = , SA (ABC), SA = 2a. Gọi M là trung điểm của AB. a) Tính gĩc giữa (SBC) và (ABC). b) Tính đường cao AK của tam giác AMC c) Tính gĩc giữa (SMC) và (ABC). d) Tính khoảng cách từ A đến (SMC)