Bài giảng Giải tích Lớp 12 - Bài 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Bài giảng điện tử toán đại số 12 Bài số 1 Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số § 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ 1. Nhắc lại đ ịnh nghĩa hàm số đ ồng biến, nghịch biến - Nếu x 1 , x 2 (a; b) và x 1 < x 2 mà f(x 1 )<f(x 2 ) thì hàm số y = f(x) đư ợc gọi là đ ồng biến ( t ă ng ) trên khoảng (a; b). Cho hàm số y=f(x) xác đ ịnh trên khoảng (a;b) - Nếu x 1 , x 2 (a; b) và x 1 f(x 2 ) thì hàm số y = f(x) đư ợc gọi là nghịch biến ( giảm ) trên khoảng (a; b). Hàm số y = f(x) đ ồng biến hay nghịch biến trên khoảng (a; b) đư ợc gọi chung là đơ n đ iệu trên khoảng đ ó. Nếu ta đ ặt: x= x 2 – x 1 và y= f(x 2 ) – f(x 1 ) nếu x 1 0 và y > 0 vì vậy: § 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ 1. Nhắc lại đ ịnh nghĩa hàm số đ ồng biến, nghịch biến f(x) đ ồng biến trên khoảng (a; b) f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b) Hay: f(x) biến trên khoảng (a; b) nếu: f’(x) = 0 trên khoảng (a; b). nghịch đ ồng Nếu x 1 f(x 2 ) nên x > 0 và y < 0 vì vậy: Định lý Lagrange sau đư ợc thừa nhận: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và có đ ạo hàm trên (a; b) thì tồn tại một đ iểm c (a; b) sao cho: f(b) – f(a) = f’(c)(b – a) hay: § 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ 2. Điều kiện đ ủ của tính đơ n đ iệu: Gọi cung AB là một đ oạn đ ồ thị của hàm số y = f(x) với A(a; f(a)) và B(b; f(b)) hệ số góc của cát tuyến AB là: § 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ 2. Điều kiện đ ủ của tính đơ n đ iệu: O a c b f(b) f(c) f(a) B C A Đẳng thức: f’(c) = là hệ số góc của tiếp tuyến của cung AB tại đ iểm (c; f(c)) Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) có đ ạo hàm trên khoảng (a; b). Nếu f’(x) > 0 với mọi x (a; b) thì hàm số y = f(x) đ ồng biến trên khoảng đ ó. Nếu f’(x) < 0 với mọi x (a; b) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng đ ó. § 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ 2. Điều kiện đ ủ của tính đơ n đ iệu: § 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ 2. Điều kiện đ ủ của tính đơ n đ iệu: Định lý 2: Cho hàm số y = f(x) có đ ạo hàm trên khoảng (a; b). Nếu f’(x) 0 (hoặc f’(x) 0) và đ ẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn đ iểm trên khoảng (a; b) thì hàm số y = f(x) đ ồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng đ ó. Ví dụ 1 : Tìm các khoảng đ ồng biến hay nghịch biến của hàm số: y = x 2 – 2x + 3 Tập xác đ ịnh: D = R. Ta thấy: y’ = 2x – 2 y’ 0 khi x > 1 nên ta có bảng biến thiên nh ư sau: § 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ 2. Điều kiện đ ủ của tính đơ n đ iệu: -∞ +∞ 2 y - 0 + y’ -∞ 1 +∞ x Hàm số Đ/Biến trên (1; +∞) và N/Biến ( -∞; 1) Ví dụ 2 : Tìm các khoảng đơ n đ iệu của h/s: § 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ 2. Điều kiện đ ủ của tính đơ n đ iệu: TXĐ: D = R\{x = 0} Đạo hàm: Dấu của y’ là dấu của x 2 – 1 mà x 2 – 1 = 0 x = 1 với x = 1 thì y = 11, với x = -1 thì y = -1 Nên ta có bảng biến thiên nh ư sau: § 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ 2. Điều kiện đ ủ của tính đơ n đ iệu: -1 11 y + 0 – – 0 + y’ -∞ -1 0 1 +∞ x Vậy hàm số đ ồng biến trên các khoảng ( -∞; -1)  (1; + ∞) và nghịch biến trên (-1; 0)  (0; 1). Định nghĩa : cho hàm số y = f(x) xác đ ịnh trên (a; b) và x 0 (a; b). Điểm x 0 đư ợc gọi là một đ iểm tới hạn của hàm số nếu tại đ ó f’(x) không xác đ ịnh hoặc bằng 0. § 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ 3. Điểm tới hạn: Ví dụ 1: Xét hàm số: Có tập xác đ ịnh là: D = R\{x = 0} Có đ ạo hàm là: y’ triệt tiêu khi x = 1 và kx đ tại x = 0 nh ư ng do 0 D nên h/s chỉ có 2 đ iểm tới hạn là: x = 1 Xét hàm số: § 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ 3. Điểm tới hạn: Tập XĐ: D = R. Đạo hàm: f’(x) không xác đ ịnh tại x = 0 và triệt tiêu tại x = 2 hàm số có hai đ iểm tới hạn là: x = 0 và x = 2. Đối với các hàm số f(x) th ư ờng gặp, f’(x) liên tục trên khoảng xác đ ịnh của nó. Vì thế, giữa hai đ iểm tới hạn kề nhau x 1 và x 2 , f’(x) giữ nguyên một dấu. § 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ 3. Điểm tới hạn: Thật vậy, nếu trong khoảng (x 1 , x 2 ) mà f’(x) đ ổi dấu thì f’(x) phải triệt tiêu tại tại một đ iểm nào đ ó trong (x 1 , x 2 ) nh ư ng đ iều này là không thể vì x 1 , x 2 là hai đ iểm tới hạn kề nhau. Quy tắc tìm các khoảng biến thiên của hàm số: 1. Tìm các đ iểm tới hạn: a. Tìm đ ạo hàm của f(x). b. Cho f’(x) = 0 giải ph ươ ng trình. c. Tìm các đ iểm tới hạn. 2. Xác đ ịnh dấu của đ ạo hàm trong các khoảng xác đ ịnh bỡi đ iểm tới hạn. 3. Suy ra chiều biến thiên của hàm số trong mỗi khoảng § 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ 3. Điểm tới hạn: Bảng biến thiên của hàm số: § 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ 3. Điểm tới hạn: Có đ ạo hàm là: Bảng biến thiên : Có 2 đ iểm tới hạn là: x = 0 và x = 2 0 y + – + y’ - ∞ 0 2 + ∞ x Cần nắm vững quy tắc đ ể tìm sự đ ồng biến và nghịch biến của một hàm số. Cách vẽ bảng biến thiên của một hàm số. Làm các bài tập: 1, 2, 3, 4 tràng 52, 53 sách giáo khoa. § 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ TIẾT HỌC KẾT THÚC