Bài giảng Đại số 11 - Bài 86: Hàm số liên tục các phép toán về hàm số liên tục

nhà làm bài tập và chuẩn bị bài mới GIÁO ÁN §88: CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN (Đại số và Giải tích 10 Chuyên) Người soạn: Nguyễn Thị Thúy Nga. Ngày soạn: 12/03/2014 Người dạy: Nguyễn Thị Thúy Nga. Ngày dạy: 15/03/2013 Nơi dạy: Lớp 10Toán 2 – Trường THPT Chuyên Hùng Vương. Số tiết: 1 tiết (tiết 88 theo phân phối chương trình). GVHD: Cô Lê Thu Phương. *** I. MỤC TIÊU a) Về kiến thức: Học sinh nắm được + Một số định lý và tính chất cơ bản của hàm số liên tục. + Nội dung của định lý giá trị trung bình. b) Về kĩ năng: + Biết cách vận dụng các định lý để xét tính liên tục của các hàm số cho trước. + Biết cách chứng minh phương trình có nghiệm trên một khoảng hay một đoạn cho trước và giải các bài toán liên quan (bất phương trinh, phương trình hàm,). c) Về thái độ, phát triển tư duy: + Có thái độ tích cực, tự giác trong học tập. + Phát triển được tư duy logic và tư duy thuật toán. II. CHUẨN BỊ Học sinh: Đã biết một số kiến thức về tính giới hạn, xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, trên một khoảng và đoạn, có đầy đủ sgk và đọc bài trước ở nhà. Giáo viên: Chuẩn bị giáo án và một số phương tiện dạy học. III. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC - Giáo viên sử dụng phương pháp gợi mở, giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề; - Thuyết trình và vấn đáp. IV. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC A – Ổn định lớp và kiểm tra bài cũ: - Câu hỏi: Nêu các bước xét tính liên tục của một hàm số tại điểm ? - Trả lời: Các bước: + Xét xem hàm số có xác định tại điểm hay không? + Kiểm tra xem có tồn tại không? + Xét xem không? Vào bài: Tiết trước chúng ta đã biết thế nào là hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng và một đoạn, tiết này ta sẽ nghiên cứu tiếp một số định lý liên quan đến các hàm liên tục. B – Bài mới: Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung ghi bảng Hoạt động 1: Định lí 3 ( Định lý giá trị trung bình) - Bây giờ ta xét một tính chất khá quan trọng của hàm liên tục nữa. Xem câu hỏi 3 trong sgk tr. 138. - Câu trả lời chính là định lý 3 sau đây: - Có 1 cách phát biểu khác của định lý 3 (sgk) * Chú ý: Ứng dụng của định lý 3 thường để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình trên 1 khoảng hay đoạn. - Nêu ý nghĩa hình học của định lí và hệ quả. - HS lắng nghe câu hỏi, suy nghĩ, dự đoán kết quả và trả lời. - Ghi bài. ?3. Giả sử hàm số liên tục trên đoạn với và trái dấu nhau. Hỏi đồ thị hàm số có cắt trục hoành tại điểm thuộc khoảng không? - Định lý 3: (Định lý giá trị trung bình) Xét: + liên tục liên tục trên đoạn ; + Khi đó tồn tại ít nhất 1 điểm ( hay c là 1 nghiệm của phương trình ). -Ý nghĩa hình học của định lí( xem SGK 171) -Từ đó ta có hệ quả sau: -Hệ quả: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn và M là một số thực bất kì nằm giữa f(a) và f(b) thì tồn tại ít nhất một điểm Sao cho f(c)=M Hoạt động 2: Củng cố định lí giá trị trung bình - Xét VD1 + Tìm đoạn sao cho . - Đưa thêm ví dụ cho HS HD: a. Xét đoạn b. Xét các đoạn - Suy nghĩ và làm VD: Đặt có ; Mà là hàm đa thức nên liên tục trên , và do đó liên tục trên Theo định lý 3 thì phương trình có ít nhất 1 nghiệm . - Suy nghĩ làm bài * Ví dụ 1: Chứng minh phương trình có ít nhất 1 nghiệm. * Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình: a. có ít nhất 1 nghiệm. b. có ít nhất 2 nghiệm. C – Củng cố và dặn dò. -Làm các bài tập sau: Bài 1. (Bài 49-SGK trang 173). Chứng minh rằng phương trình x2cosx+xsinx+1=0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0,π). Giải: Nhận thấy hàm số fx=x2cosx+xsinx+1 liên tục trên đoạn [0,π] Ta có: f0=1;fπ=1-π-π2<0, suy ra f0.fπ<0. Vậy fx=0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng (0,π). Bài 2. Chứng minh rằng phương trình m.x-13.x-2+2x-3=0 Luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Giải. Ta xét hàm số fx=mx-13.x-2+2x-3 trên đoạn 1,2. Hiển nhiên fx liên tục trên đoạn 1,2. Ta có f1=-1, f2=1, suy ra f1.f2<0. Vậy phương trình fx=0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng (0,2). Từ đó ta có điều phải chứng minh. Bài 3. Chứng minh rằng phương trình x3-5x-2014=0 Có ít nhất 1 nghiệm dương. Giải: Nhận thấy hàm số fx=x3-5x-2014 liên tục trên nửa khoảng [0,+∞). Ta có: limx→+∞f(x)=+∞. Như vậy sẽ tồn tại 1 số thực dương b đủ lớn sao cho fb>0. Mặt khác f0=-2014, suy ra f0.fb<0. Vậy fx=0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0,b) hay nói cách khác fx=0 có ít nhất 1 nghiệm dương. Bài 4. Chứng minh rằng mọi phương trình bậc 3 đều có ít nhất 1 nghiệm thực. Giải: Xét hàm số fx=ax3+bx2+cx+d, trong đó a,b,c,d là tham số, a≠0. Do a≠0, ta có thể viết lại hàm f(x) dưới dạng fx=x3+bax2+cax+da. Ta có: limx→+∞f(x)=+∞, như vậy sẽ tồn tại 1 số thực m sao cho fm>0 limx→-∞fx=-∞, nên cũng sẽ tồn tại 1 số thực n sao cho fn<0 Như vậy fm.fn<0, suy ra phương trình fx=0 có ít nhất 1 nghiệm thực trong khoảng (m,n). Từ đó ta có điều phải chứng minh. Cần nhớ: - Một số định lý về xét tính liên tục của một số hàm thường dùng - Định lý giá trị trung bình và áp dụng làm bài toán chứng minh phương trình có nghiệm trên một khoảng hay đoạn. Dặn dò HS Về nhà ôn bài và làm bài tập trong sgk, sbt chuẩn bị cho tiết sau luyện tập. GIÁO ÁN §89: CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN (Đại số và Giải tích 10 Chuyên) Người soạn: Nguyễn Thị Thúy Nga. Ngày soạn: 12/03/2014 Người dạy: Nguyễn Thị Thúy Nga. Ngày dạy: 15/03/2013 Nơi dạy: Lớp 10Toán 2 – Trường THPT Chuyên Hùng Vương. Số tiết: 1 tiết (tiết 89 theo phân phối chương trình). GVHD: Cô Lê Thu Phương. ** I. MỤC TIÊU a) Về kiến thức: Học sinh nắm được + Ứng dụng của định lí giá trị trung bình. b) Về kĩ năng: . + Biết vận dụng định lí giá trị trung bình để chứng minh phương trình có nghiệm trên một khoảng hay một đoạn cho trước và giải các bài toán liên quan (bất phương trinh, phương trình hàm,). c) Về thái độ, phát triển tư duy: + Có thái độ tích cực, tự giác trong học tập. + Phát triển được tư duy logic và tư duy thuật toán. II. CHUẨN BỊ Học sinh: Đã biết một số kiến thức về tính giới hạn, xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, trên một khoảng và đoạn, có đầy đủ sgk và đọc bài trước ở nhà. Giáo viên: Chuẩn bị giáo án và một số phương tiện dạy học. III. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC - Giáo viên sử dụng phương pháp gợi mở, giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề; - Thuyết trình và vấn đáp. IV. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC A – Ổn định lớp B – Bài mới: Các ứng dụng của định lí giá trị trung bình Hoạt động 1: chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình Hoạt động củaGV Hoạt động của HS Nội dung ghi bảng -Làm bài tập sau: GV: Để chúng minh một phương trình có nghiệm trên một đoạn [a; b] (hoặc khoảng (a; b) ta làm thế nào? + Biến đổi vê phải về 0. Đặt f(x) là vế trái. + Tìm tập xác định của f(x). Chứng tỏ f(x) liên tục trên [a; b] ( khoảng (a; b)). + Tìm c, d thuộc [a; b] sao cho f(c).f(d)<0. Sau đó áp dụng định lí giá trị trung bình suy ra tồn tại nghiệm. Kết luận. GV: Chú ý, đối với bài toán yêu cầu chứng minh phương trình có 2,3,... nghiệm trên [a; b] thì ta tìm 2,3...khoảng rời nhau thỏa mãn. GV: Hướng dãn học sinh làm. -Suy nghĩ giải bài tập. Giải: a/ 3x4 + 4x3 – x2 + 2x – 1 = 3x + 4 ó 3x4+ 4x3 – x2 – x – 2 = 0. Đặt f(x) = 3x4+ 4x3 – x2 – x – 2. TXĐ: D = R Ta có, f(x) là hàm đa thức xác định voies mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên R. f(x) liên tục trên [0; 1]. Ta lại có: f(0) = -2; f(1) = 3. f(0).f(1) = (-2).3 = -6 < 0. . . Vậy phương trình có phương trình có nghiệm thuộc (-1; 3). b/ Đặt f(x) = x2cosx + xsinx + 1. Ta có, f(x) là hàm đa thức xác định voies mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên R. f(x) liên tục trên [0; π]. Mặt khác, ta có: f(0) = 1, f(π) = -π2. f(0) .f(π) = 1.(-π2) = -π2< 0. . Vậy phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; π). c/ Đặt f(x) = 2x3 – 3x2 – 3x + 2 TXĐ: D = R Ta có f(x) là hàm đa thức xác định với mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên R Þ f(x) liên tục trên [-2; 2]; liên tục trên [-2; 0], [0; 1], [1;2]. Ta lại có: f(- 2) = - 19; f(0) = 3; f(1) = - 1; f(2) = 1 nên f(-2).f(0) = (-19).3 < 0 Þ f(x) có nghiệm x1 Î (-2; 0) f(0).f(1) = 3.(-1) < 0 Þ f(x) có nghiệm x2 Î (0; 1) f(1).f(2) = (-1).1 = -1 < 0 Þ f(x) có nghiệm x3 Î (1; 2) Vậy phương trình 2x3 – 3x2 – 3x + 2= 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc (-2; 2). Bài 1: Chứng minh phương trình: a/ 3x4 + 4x3 – x2 + 2x – 1 = 3x + 4 có nghiệm thuộc (-1; 3). b/ x2cosx + xsinx + 1 = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; π). c/ 2x3 – 3x2 – 3x + 2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc (-2; 2). Hoạt động 2: Giải và biện luận phương trình Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung gi bảng -Đưa ra hệ quả của định lí giá trị trung bình -Làm bài tập sau: -TXĐ của phương trình là gì, vậy nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm phải thuộc trong đoạn nào? -Áp dụng định lí trên tiếp theo ta phải làm gì? -Lắng nghe và ghi bài -Suy nghĩ và làm bài tập -TXĐ: [-1; 1]. do đó PT có nghiệm khi và chỉ khi nó có nghiệm trong đoạn [-1; 1]. -Ta phải tìm GTNN và GTLN của hàm bên vế trái trên khoảng [-1; 1] Với mọi x thuộc [-1; 1] ta có: Do đó: Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi Định lí:Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và đạt GTNN, GTLN là M1, M2 trên khoảng ấy, thì phương trình f(x)=m có nghiệm x thuộc đoạn [a; b] khi và chỉ khi -Bài 2:Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có nghiệm Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm Hoạt động 3: Một số ứng dụng khác a, Tìm giới hạn -Đưa ra tính chất của hàm số liên tục -Làm bài tập sau -Lắng nghe và ghi bài -Làm bài tập Giải: Vậy -Nếu f là hàm số liên tục và liman=c thì limf(an)=f(c). -Nếu f là hàm số liên tục thì f chỉ đổi dấu khi đi qua những điểm mà tại đó giá trị của hàm số bằng 0.(Tính chất này được sử dụng nhiều trong giải bất phương trình) Áp dụng vào làm bài tập Bài 4: Tìm b, Một số ứng dụng khác: Bài 5:Giải bất phương trình sau: Bài 6:Cho hàm số f :[0; 1] ->[0; 1] và là một hàm liên tục. CMR tồn tại một điểm x0 nằm trong đoạn [0; 1] sao cho f(x0)=x0. C-CỦNG CỐ VÀ DẶN DÒ -Nhắc lại về định lí giá trị trung bình và ứng dụng của nó -Về nhà làm bài tập trong SGK và chuẩn bị bài mới.