Bài giảng Đại số 11 - Bài 1: Giới hạn của dãy số (tiếp)

Chương IV.GIỚI HẠN BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TÓM TẮT KIẾN THỨC Định nghĩa giới hạn hữu hạn. Dãy số (un) được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim un= 0 hay un khi Dãy số (un) được gọi là có giới hạn a khi nếu lim (un - a)= 0 Kí hiệu: lim un= a hay un khi Định nghĩa giới hạn vô cực. Dãy số (un) được gọi là có giới hạn + khi , nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim un =+ hay un khi. Dãy số (un) được gọi là có giới hạn - khi , nếu lim (- un) = + Kí hiệu: lim un= - hay un khi . Các giới hạn đặc biệt. ∙lim1n=0, ∙lim1nk=0, k∈Z+ ∙limqn=0 nếu q1 ∙limnk=+∞, k∈Z+ .Nếu un=c c là hằng số thì limun=limc=c Định lí về giới hạn hữu hạn. Nếu lim un = a và lim vn = b, thì: lim(un+ vn) = a + b ; lim(un - vn) = a - b lim unvn = ab ; lim Nếu un≥0 ∀n và limun=a thì a≥0 và lim Nếu |un| ≤ vn, "n và lim vn = 0 thì lim un = 0 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Vấn đề 1: Tính giới hạn của dãy số nhờ vào các định lý về giới hạn Phương pháp: Biến đổi biểu thức biễu diễn dãy số về dạng có thể áp dụng được định lí. Nếu biểu thức có dạng phân thức, ta thường chia tử số và mẫu số cho nk, trong đó k là số mũ cao nhất của n (hoặc qn với q là số lớn nhất có luỹ thừa n). Nếu biểu thức không có dạng trên, tuỳ trường hợp có thể dùng các phép biến đổi sau: Đặt thừa số chung để áp dụng định lí về giới hạn vô cực. Nhân và chia cho biểu thức liên hợp để đưa về dạng phân thức, khi biểu thức chứa biến n dưới dấu căn. Chú ý: ∙ limun+vn=lim un+lim vn ∙ limun-vn=lim un-lim vn ∙limun.vn=lim un.lim vn ∙ limunvn=lim un⁡lim vn⁡, nếu vn≠0. ∙ limk.un=k.lim un ∙limk=k ,k là hằng số Các giới hạn đặc biệt: với a là hằng số: Nếu a > 0: a0+→+∞, a0-→-∞ Nếu a < 0: a0+→-∞, a0-→+∞ lim un lim vn = a lim(unvn) a >0 a < 0 a >0 a < 0 +) Nếu lim un = +¥ thì lim1un=0 Chú ý : khi gặp các dạng vô định:  ; ; ; ; ta phải khử các dạng vô định đó bằng cách: chia tử và mẫu cho n hoặc x mũ lớn nhất; phân tích tử hoặc mẫu thành nhân tử để đơn giản, nhân cả tử và mẫu với một lượng liên hợp; * Liên hợp của biểu thức: VD1. Tính lim. Giải: Ta có: lim= limn33n3n3-2nn3+5n3n31n3+2n3n3= lim= lim VD2. Tính lim Giải: Ta có: lim= lim5n5n5n+2.3n5n5n4n5n+15n=lim5n1+2∙35n5n45n+15n = lim1+2∙35n45n+15n Vì lim1+2∙35n=lim⁡1+lim2∙35n=1+2.lim35n=1+2.0=1>0 do 35<1 nên lim35n=0 lim45n+15n=lim45n+lim15n=0+0=0 mà 45n+15n>0 Vậy : lim= +∞ VD3. Tính lim Giải: Ta có: lim= limn4n2+1n-nnn1n+2nn=lim4n2+1n-nn1n+2nn=lim4n2+1n2-11n+2=lim4n2+1n2-11n+2 =lim4n2n2+1n2 -11n+2=lim4+1n2-11n+2=2-12=12 VD4. Tính  lim( n- ) Giải: Ta có : lim(n -) = limnn+1n+1-n2+3n-7n+1=limnn+1-n2+3n-7n+1 =limn2+n-n2-3n+7n+1=lim-2n+7n+1=limn-2+7nn1+1n VD5. Tính lim( 2n3+3n-1) Giải: Ta có lim (2n3+3n-1) = lim⁡n32n3n3+3nn3-1n3= lim n3( 2+) = + VD6. Tính lim( -2n2+n- n+4) Giải: Ta có : lim(-2n2+n-n+4) = lim n2-2n2n2+nnn2-nn2+4n2= lim n2( -2 +. VD7. Tính lim( Giải: Ta có : lim(= limn21+1n2+n21-1n =limn1+1n2+n1-1n= lim n VD8. Tính lim( Giải: Ta có : lim(=lim = limn2+12-n2-n2n2+1+n2-n=limn2+1-n2-nn2+1+n2-n=limn2+1-n2+nn21+1n2+n21-1n=lim1+nn1+1n2+n1-1n =limn1n+1n1+1n2+1-1n = lim LUYỆN TẬP Bài 1: Tính b)lim2n3-2n+31-4n3 c) Bài 2: Tính b) c) lim4n+-1n Bài 3: Tính: a) lim2n-5n b) limn3+2n-1n5+4n-7 c) lim Bài 4: Tính: a) lim b) lim c) lim (n – 2n3) d) e) lim Bài 5: Tính: a) lim (