Bài giảng Bài tập ôn tập chương đạo hàm

Tài liệu của học sinh:. Lớp:11A1 Bài tập ôn tập chương đạo hàm Cho hàm số chứng minh : a) ; b) . Cho các hàm số : , . Chứng minh : . a) Cho hàm số . Chứng minh : . b) Cho hàm số . Chứng minh : . Giải phương trình biết : a) ; b) ; c) ; d) . Cho hàm số . Tìm để : a) có hai nghiệm phân biệt ; b) có thể viết được thành bình phương của nhị thức ; c) ; d) ; e) . Cho hàm số . Xác định để : a) . b) có hai nghiệm phân biệt cùng âm ; c) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện : . Cho hàm số . Xác định để hàm số có . Tìm các giá trị của tham số để hàm số: có trên một đoạn có độ dài bằng 1 . Cho hàm số . Xác định để hàm số có có 3 nghiệm phân biệt . BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Biết tiếp tuyến đi qua điểm : Viết phương trình tiếp tuyến của tại : Vì tiếp tuyến đi qua Giải phương trình(*) tìm thế vào (1) suy ra phương trình tiếp tuyến . Cho đường cong . Viết phương trình tiếp tuyến của trong các trường hợp sau : a) Tại điểm ; b) Tại điểm thuộc và có hoành độ ; c) Tại giao điểm của với trục hoành . d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm. Cho đường cong a) Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ; b) Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ; c) Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng : một góc . Cho hàm số . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O. (Khối A – 2009) . Cho hàm số . Tìm các điểm thuộc đồ thị mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị . (Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, 1999) Cho là đồ thị của hàm số . Chứng minh tiếp tuyến tại một điểm bất kì của cắt trục tung tại một điểm cách đều gốc tọa độ và tiếp điểm . Cho hàm số . Viết phương trình tiếp với : a) Tại điểm có hoành độ ; b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : ; c) Vuông góc với đường thẳng : ; d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm . Cho hàm số : . a) Viết phương trình tiếp tuyến của tại điểm ; b) Vết phương trình tiếp tuyến của tại giao điểm của với trục hoành; c) Viết phương trình tiếp tuyến của tại giao điểm của với trục tung ; d) Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến song song với đường thẳng e) Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến vuông góc với . Cho hàm số : a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm . b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị không đi qua . Cho hàm số .Tìm phương trình tiếp tuyến với : a) Tại điểm có hoành độ ; b) Song song với đường thẳng : . Cho hàm số , là tham số thực . Tìm các giá trị của để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm có hoành độ đi qua điểm . (Dự bị A1 - 2008) Cho hàm số . Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm . (Dự bị D1 - 2008) Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng góc . Cho hàm số . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất. Cho hàm số . Gọi . Tìm điểm sao cho tiếp tuyến của tại vuông góc với đường thẳng . (Dự bị B2 - 2003) (*) Cho hàm số . Tìm điểm , biết tiếp tuyến của tại cắt hai trục tọa độ tại và tam giác có diện tích bằng . (Khối D - 2007) (*) Cho hàm số : . Viết phương trình tiếp tuyến của sao cho và hai đường cắt nhau tạo thành một tam giác cân. (Dự bị D2 - 2007) Cho hàm số . Chứng minh rằng qua điểm kẻ được hai tiếp tuyến với và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. (*) Cho hàm số . Qua điểm có thể kẻ được mấy tiếp tuyến đến đồ thị . Viết phương trình các tiếp tuyến ấy . (*) Cho hàm số . Gọi .Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của đi qua điểm . (Dự bị B2 - 2005). (*) Cho hàm số . Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị . BÀI TOÁN Tìm vi phân của hàm số và tính gần đúng nhờ vi phân Phương pháp : Dựa theo định nghĩa và công thức sau : Cho hàm số có đạo hàm thì tích được gọi là vi phân của hàm số . Kí hiệu : hay Tìm vi phân của các hàm số sau : a) ; b) ; c) ; d); e) ; f) . Cho hàm số . Chứng minh đẳng thức : . BÀI TOÁN Tìm đạo hàm cấp cao Phương pháp : Dựa theo các định nghĩa sau : Đạo hàm cấp 2 : Đạo hàm cấp cao : . Chú ý : Để tìm công thức tính đạo hàm cấp của một hàm số ta tìm đạo hàm cấp 1 , 2 , 3 sau đó dự đoán công thức tính đạo hàm cấp và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp . Tìm đạo hàm các cấp đã chỉ ra của các hàm số sau : a) . Tìm ; b) . Tìm ; c) . Tìm . Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra: a) ; b) . Chứng minh bằng quy nạp các công thức sau đúng : a) ; b) ; c) . Tìm các đạo hàm cấp của các hàm số sau : a) b) . c) ; b) . Chú ý : Khi tìm đạo hàm cấp của một hàm số , nếu được ta hãy biến đổi hàm số đã cho thành tổng của các hàm số có một trong các dạng : rồi áp dụng các công thức ở ví dụ trên , dự đoán ra công thức đạo hàm cấp của hàm số đã cho và chứng minh lại bằng quy nạp (nếu cần) . Tìm đạo hàm các cấp đã chỉ ra của các hàm số sau : a) tìm ; b) tìm ; c) tìm ; d) tìm . Chứng minh các đẳng thức sau : a) nếu ; b) nếu ; c) nếu ; d) nếu ; e) nếu ; f) nếu ; g) nếu , . Tìm đạo hàm cấp của các hàm số sau : a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; g) . Cho . Chứng minh . BÀI TOÁN Dùng định nghĩa đạo hàm tìm giới hạn Phương pháp : Ta có thể sử dụng định nghĩa của đạo hàm : để tính các giới hạn có dạng vô định . Bằng cách viết giới hạn cần tìm thành dạng : , sau đó tính đạo hàm của hàm tại điểm rồi áp dụng định nghĩa đạo hàm suy ra kết quả của giới hạn . Tìm các giới hạn sau : a) ; b) ; c) ; d) . Tìm các giới hạn sau : a) ; b) . Tìm các giới hạn sau : a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) . Tìm các giới hạn sau : a) ; b) ; c) d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) . BÀI TOÁN Tính các tổng có chứa tổ hợp Phương pháp : Trong phần đại số tổ hợp khi áp dụng nhị thức Newton để tính các tổng có chứa các công thức tổ hợp đôi khi ta phải biết áp dụng khéo léo việc lấy đạo hàm các cấp của các vế ta sẽ tính được tổng cần tính . Tính các tổng sau : a) ; b) . c) ; d) . Rút gọn các tổng sau : a) ; b) ; c) . (*) Rút gọn các tổng sau : . b) . c) . d) . Cho số nguyên n thỏa mãn đẳng thức . Tính tổng : . (Dự bị B1 – 2008) . Chứng minh rằng với n là số nguyên dương , ta luôn có : (Dự bị D1 – 2008) . Tìm số nguyên dương n sao cho : ( là số tổ hợp chập k của n phần tử ) . Bài tập ôn tập phần hình học không gian Hình chóp Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và AD. Xác định và tính khoảng cách giữa SB và CD Chứng minh SH (ABCD) Chứng minh AC SK Chứng minh CK SD Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh , SA = 2; SA ^ (ABCD). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. a. Chứng minh BC ^ SB b. Chứng minh SC^ (AHK) c. Tính góc giữa SC và (ABCD) Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, AC=2a. SA=2a và vuông góc mp(ABC). M là 1 điểm nằm trên đoạn AB 1. Chứng minh AC SM. 2. Tính góc giữa SA và (SBC) 3. Mặt phẳng (P) qua M và (P)AB. Tìm thiết diện mặt phẳng (P) cắt hình chóp, thiết diện là hình gì? Bài 4: Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC = a, BSC = 600, CSA = 900, ASB = 1200. K là trung điểm của AC. Tính AB, BC và CA. Từ đó chứng minh rằng ABC là tam giác vuông. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC). Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (ABC); (SAC) và (ABC). Chứng minh SK là đoạn vuông góc chung của AC và SB. Bài 5: Cho tứ diện ABCD, có các cặp cạnh đối bằng nhau, AB = CD = a, BC = AD = b, AC = BD = c . I, K lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Chứng minh 3 vectơ đồng phẳng b) Tính khoảng cách giữa AB và CD. c) Chứng minh rằng Bài 6: Cho hình chóp đều S.ABC có các cạnh bằng a, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, I là trung điểm của BC, (a) là mặt phẳng đi qua A và song song BC, (a) cắt SB, SC lần lượt tại M và N. 1. Chứng minh MN ^(SAO). 2. Tính tan của góc tạo SB và (ABC). 3. Tính AM để SI ^ (a). Hình lăng trụ Bài 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với cả hai mặt phẳng (A’BD) và (CB’D’). Tính góc giữa hai mặt phẳng (BA’C) và (DA’C). Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (BA’C’) và (ACD’). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’. Đ/s: b) 60o, c) , d) . Bài 8: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đáy đều bằng a. Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 60o và hình chiếu H của đỉnh A lên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của cạnh B’C’. Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy. Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’) và mặt đáy. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABB’A’). Đ/s: a) ; b) ; c) Bài 9: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a. Gọi E, F và M lần lượt là trung điểm của AD, AB và CC’. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (EFM). Tính diện tích của thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng (EFM). Đ/s: a) ; b) . Nội dung trọng tâm cần ôn tập thi cuối năm: Giới hạn của dãy số, hàm số. Tính liên tục của hàm số cho bởi hai công thức. Ứng dụng tính liên tục để chứng minh phương trình có nghiệm trên một khoảng. Tính đạo hàm của hàm số theo định nghĩa. Một số bài toán liên quan đến đạo hàm: + Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm; + Chứng minh đẳng thức chứa đạo hàm; + Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ... Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc, đồng phẳng ... trong không gian; Tính góc, khoảng cách, diện tích trong không gian. Cực trị trong hình học không gian. Chúc các em ôn tập đạt hiệu quả cao.