60 Bài tập Vận dụng cao Xác suất - Năm 2018 - Huỳnh Đức Khánh (Có lời giải)

. Số cách chọn cặp từ 20 cặp là . Mỗi cặp chọn ra người, do đó 4 cặp có nên có cách chọn. K – BÀI TOÁN VỀ XẾP VỊ TRÍ Câu 48. Có 12 người xếp thành một hàng dọc (vị trí của mỗi người trong hàng là cố định). Chọn ngẫu nhiên 3 người trong hàng. Tính xác xuất để 3 người được chọn không có 2 người nào đứng cạnh nhau. A. B. C. D. Lời giải. Ta có Chọn A. Biến cố cần tính bằng số cách đặt 3 người vào 3 trong 10 khoảng trống tảo bởi 9 người (cứ đặt đâu lấy đó) nên có cách. Bài tập tương tự. Một nhóm gồm 12 học sinh trong đó có Hoa, Anh, Vinh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 12 bạn đó thành một hàng ngang mà không có hai bạn trong ba bạn Hoa, Anh, Vinh đứng cạnh nhau? Đáp số: Hướng dẫn. Thực chất bài này như bài toán trên. Ta có và Câu 49. Xếp 10 cuốn sách tham khảo khác nhau gồm: 1 cuốn sách Văn, 3 cuốn sách tiếng Anh và 6 cuốn sách Toán (trong đó có hai cuốn Toán và Toán ) thành một hàng ngang trên giá sách. Xác suất để mỗi cuốn sách tiếng Anh đều được xếp ở giữa hai cuốn sách Toán, đồng thời hai cuốn Toán và Toán luôn được xếp cạnh nhau bằng A. B. C. D. Lời giải. Ta có Chọn B. = Xếp 5 quyển toán (coi và là một khối) nên có cách. Tạo ra 4 khoảng trống giữa các cuốn Toán (không kể hai đầu). T T T T T = Xếp 3 cuốn sách tiếng Anh vào 4 khoảng trống có cách. = Xếp 1 cuốn Văn vào 3 vị trí còn lại (một khoảng trống mà tiếng Anh sắp còn lại, cùng với 2 khoảng trống 2 đầu cuốn Toán) nên có 3 cách. Câu 50. Một tổ có học sinh gồm học sinh nữ trong đó có hai em Thảo, My và học sinh nam. Xác suất để xếp học sinh vào một hàng dọc sao cho Thảo và My đứng cạnh nhau còn các em nữ còn lại không đứng cạnh nhau và cũng không đứng cạnh Thảo và My bằng A. B. C. D. Lời giải. Ta có Chọn C. = Xếp 5 bạn nam trước (tạo ra 6 khoảng trống kể cả hai đầu): có cách. = Coi Thảo và My là 1 khối và 2 bạn nữ còn lại ta xếp vào 3 trong 6 chỗ trống nên có cách. Giữa Thảo và My đổi chỗ cho nhau nên có cách. Câu 51. Một tổ có 10 học sinh trong đó có 3 bạn gồm An, Bình và Cúc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh đó vào một ghế dài có 10 chỗ trống sao cho An và Bình luôn ngồi cạnh nhau nhưng An và Cúc không ngồi cạnh nhau. A. B. C. D. Lời giải. ● Vì An và Bình luôn ngồi cạnh nhau nên xem như là 1 khối, giữa 2 người này đổi chỗ cho nhau nên có cách. Một khối (An và Bình) cùng với 8 người còn lại hoán đổi vị trí cho nhau nên có cách. Nhưng đếm thế này mình đã đếm luôn trường hợp An và Cúc ngồi cạnh nhau. ● Ta đếm xem có bao nhiêu trường hợp An và Cúc ngồi cạnh nhau (dĩ nhiên An và Bình cũng ngồi cạnh nhau). Xem An, Bình và Cúc như 1 khối nhưng để An ngồi cạnh Bình và cũng ngồi cạnh Cúc thì An phải ngồi giữa Bình và Cúc, giữa Bình và Cúc đổi chỗ cho nhau nên có cách. Một khối (Bình, An, Cúc) cùng với 7 người còn lại hoán đổi vị trí cho nhau nên có cách. Vậy có cách thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A. Câu 52. Sắp xếp học sinh của lớp gồm có học sinh nam và học sinh nữ vào một bàn dài gồm có hai dãy ghế đối diện nhau (mỗi dãy gồm có chiếc ghế) để thảo luận nhóm. Tính xác suất để hai học sinh ngồi đối diện nhau và cạnh nhau luôn khác giới. A. B. C. D. Lời giải. Ta có Chọn A. Đánh số thứ tự ghế từ 1 đến 12. 1 2 3 4 5 6 12 11 10 9 8 7 Chọn 1 trong 2 bộ số chẵn hoặc lẻ xếp 6 bạn nam vào, sau đó xếp 6 bạn nữ vào bộ ghế còn lại. Câu 53. Có 3 bi xanh, 3 bi đỏ, 3 bi trắng và 3 bi vàng (các viên bi cùng màu giống nhau). Hỏi có bao nhiêu cách xếp 12 viên bị thành một hàng ngang sao cho các bi cùng màu không cạnh nhau? A. B. C. D. Lời giải. Ta có Chọn B. = Xếp 3 bi xanh trước: có 1 cách (tạo ra 4 khoảng trống kể cả hai đầu). Tiếp theo xếp 3 bi đỏ vào 4 khoảng trống: có cách. Bây giờ có tất cả 6 viên bi (gồm 3 bi xanh và 3 bi đỏ) tạo nên 7 khoảng trống, tiếp tục xếp 3 bi trắng vào 7 khoảng trống: có cách. Thời điểm này có tất cả 9 viên bi (gồm 3 bi xanh, 3 bi đỏ và 3 bi trắng), tiếp tục xếp 3 bi vàng vào 10 khoảng trống: có cách. Vậy có cách. = Tuy nhiên khi xếp 3 bi xanh xong, kế tiếp xếp 3 bi đỏ vào 4 khoảng trống như đã trình bày ở trên thì có 2 trường hợp mà 2 bi xanh cạnh nhau Đ X X Đ X Đ Đ X Đ X X Đ Ứng với mỗi trường hợp này sẽ kéo theo việc xếp bi trắng không thỏa mãn là và việc xếp bi vàng không thỏa mãn là Vậy số trường hợp không thỏa mãn (cần phải trừ ra) là cách. Câu 54. Có 6 viên bi gồm 2 bi xanh, 2 bi đỏ, 2 bi vàng (các viên bi bán kính khác nhau). Tính xác suất để khi xếp 6 bi trên thành một hàng ngang thì không có hai viên bi cùng màu nào đứng cạnh nhau. A. B. C. D. Lời giải. Ta có Chọn A. = Trường hợp 1. Có 3 cặp cạnh nhau: có cách. = Trường hợp 2. Có 2 cặp cạnh nhau a Khả năng thứ nhất: Cặp xanh cạnh cặp đỏ Ta xem cặp xanh như 1 vị trí, cặp đỏ như 1 vị trí cùng với 2 viên bi vàng nên có cách xếp. Hai viên bi trong cặp bi xanh đổi vị trí nên có cách, hai viên bi trong cặp bi đỏ đổi vị trí nên có cách. Nhưng ta đếm thế này là thừa trường hợp 3 cặp bi cạnh nhau. Do đó khả năng thứ nhất có cách. a Khả năng thứ hai: Cặp xanh cạnh cặp vàng có cách. a Khả năng thứ ba: Cặp đỏ cạnh cặp vàng có cách. Vậy trường hợp 2 có cách. = Trường hợp 3. Có 1 cặp cạnh nhau a Khả năng thứ nhất: Chỉ có 2 viên bi xanh cạnh nhau Ta xem cặp xanh như 1 vị trí, cùng với 2 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng nên có cách xếp. Hai viên bi trong cặp bi xanh đổi vị trí nên có cách. Nhưng ta đếm thế này là thừa trường hợp 2 cặp bi cạnh nhau (cặp xanh cạnh cặp đỏ & cặp xanh cạnh cặp vàng) và trường hợp 3 cặp bi cạnh nhau. Do đó khả năng thứ nhất có cách. a Khả năng thứ hai: Chỉ có 2 viên bi đỏ cạnh nhau có cách. a Khả năng thứ ba: Chỉ có 2 viên bi vàng cạnh nhau có cách. Vậy trường hợp 3 có cách. số cách xếp 6 bi thỏa mãn bài toán là cách. Nhận xét. Bài này ta không thể làm như bài trước được vì các viên bi khác nhau. Câu 55. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 5 học sinh nam (trong đó có Hoàng) và 5 học sinh nữ (trong đó có Lan) thành một hàng ngang. Xác suất để trong 10 học sinh trên không có hai học sinh cùng giới đứng cạnh nhau, đồng thời Hoàng và Lan cũng không đứng cạnh nhau bằng A. B. C. D. Lời giải. Ta có Chọn D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Chọn vị trí chẵn hoặc lẻ để xếp 5 nam: có 2 cách. Ta xét trường hợp 5 nam ở vị trí chẵn (tương tự cho vị trí lẻ). = Khả năng 1: Hoàng đứng ngoài cùng: có 1 cách. Xếp Lan không cạnh Hoàng: có 4 cách. Đổi vị trí các nam: có cách; Đổi vị trí các nữ: cách. Do đó trong trường hợp này có cách. = Khả năng 2: Hoàng không đứng ngoài cùng: có 4 cách. Xếp Lan không cạnh Hoàng (bỏ 2 vị trí cạnh Hoàng): có 3 cách. Đổi vị trí các nam: có cách; Đổi vị trí các nữ: cách. Do đó trong trường hợp này có cách. Câu 56. Có 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 4 học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy ? D. B. C. D. Lời giải. Gọi là số học sinh lớp C ở giữa hai học sinh lớp A với Trước tiên ta đếm cách tạo thành cụm = Chọn học sinh lớp A xếp đầu có cách. Chọn học sinh lớp C xếp vào giữa hai học sinh lớp A có cách. Do đó có cách tạo ra cụm = Coi cụm là một vị trí cùng với học sinh còn lại thành vị trí. Xếp hàng cho các vị trí này có cách. Vậy với mỗi như trên có cách xếp hàng. số cách xếp hàng thỏa mãn đề bài là: cách. Chọn C. Câu 57. Có 1 viên bi xanh, 2 viên bi vàng và 3 viên bi đỏ (các viên bi có bán kính khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách xếp 6 viên bi thành một hàng ngang sao cho các viên bi cùng màu không xếp cạnh nhau ? A. B. C. D. Lời giải. Ta đánh số thứ tự các ô cần xếp bi. I II III IV V VI ● Trường hợp thứ nhất Bi màu đỏ ở các vị trí I, III, V nên có cách. Bi màu vàng và màu xanh ở các vị trí còn lại II, IV, VI nên cũng có cách. Do đó trong tường hợp này có cách. ● Trường hợp thứ hai (như trường hợp thứ nhất) Bi màu đỏ ở các vị trí II, IV, VI nên có cách. Bi màu vàng và màu xanh ở các vị trí còn lại I, III, V nên cũng có cách. Do đó trong tường hợp này có cách. ● Trường hợp thứ ba Bi màu đỏ ở các vị trí I, III, VI nên có cách. Bi màu vàng và màu xanh ở tùy ý các vị trí còn lại thì có cách nhưng trong đó có vị trí không thỏa mãn. Do đó trong tường hợp này có cách. ● Trường hợp thứ tư (như trường hợp thứ ba) Bi màu đỏ ở các vị trí I, IV, VI nên có cách. Bi màu vàng và màu xanh ở tùy ý các vị trí còn lại thì có cách nhưng trong đó có vị trí không thỏa mãn. Do đó trong tường hợp này có cách. Vậy có tất cả cách thỏa mãn bài toán. Chọn B. Bài tập tương tự: Cũng câu hỏi như trên nhưng các bi cùng màu giống nhau. Đáp số: 10 cách. Câu 58. Một nhóm gồm 11 học sinh trong đó có 3 bạn An, Bình, Cúc được xếp ngẫu nhiên vào một bàn tròn. Xác suất để 3 bạn An, Bình, Cúc không có bạn nào được xếp cạnh nhau bằng A. B. C. D. Lời giải. Ta có Chọn C. Xếp 8 ghế quanh bàn tròn rồi xếp 8 bạn vào (11 bạn trừ An, Bình, Cúc): có cách. 8 bạn này sinh ra 8 khoảng trống, xếp 3 bạn (An, Bình, Cúc) vào 3 trong 8 khoảng trống đó nên có cách. Câu 59. Có học sinh nam, học sinh nữ và thầy giáo được xếp ngẫu nhiên vào một bàn tròn. Xác suất để thầy giáo xếp giữa hai học sinh nữ bằng A. B. C. D. Lời giải. Ta có Chọn C. Bước 1. Ta cố định thầy giáo. Bước 2. Chọn lấy học sinh nữ để xếp cạnh thầy giáo có cách. Bước 3. Xếp học sinh nữ vừa chọn cạnh thầy giáo có cách. Bước 4. Cuối cùng xếp người còn lại vào vị trí còn lại có cách. Câu 60. Có 4 cặp vợ chồng cần xếp ngồi vào một bàn tròn. Tính số cách xếp sao cho có vợ chồng nhà A là ngồi cạnh nhau còn các cặp vợ chồng khác thì hai người là vợ chồng của nhau thì không ngồi cạnh nhau. A. B. C. D. Lời giải. = Có 2 cách sắp xếp cho vợ chồng A ngồi vào bàn tròn (giả sử ông chồng ngồi cố định, còn bà vợ có 2 cách xếp). = Ta lại xếp 1 cặp vợ chồng khác vào bàn tròn, cặp vợ chồng này có thể đổi chỗ cho nhau nên có cách. = Bây giờ có tất cả 3 khe trống (vì cặp vợ chồng A không cho ai ngồi giữa). Ta xếp 1 cặp vợ chồng khác vào 3 khe này nên có cách. = Bây giờ có tất cả 5 khe trống. Ta xếp 1 cặp vợ chồng còn lại vào 5 khe này nên có cách. Vậy có cách. Chọn D. ---------- HẾT ----------