6 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán tiểu học

hanh (Sở GD - ĐT Thái Bình) MỘT DẠNG TOÁN DÙNG DẤU HIỆU CHIA HẾT Trong tháng 9 các em lớp 5 đã học về dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9. Các em đã được làm quen với dạng toán điền chữ số thích hợp vào dấu sao (*) thỏa mãn điều kiện chia hết cho một số nào đó. Chẳng hạn : Bài toán1 : (bài 4 trang16 SGK toán 5) Viết chữ số thích hợp vào dấu sao (*) để được số chia hết cho 9 : a) 4*95 ; b) 89*1; c) 891*; d) *891 ở các bài toán này ta chỉ cần dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9 để tìm chữ số điền vào dấu *. Khi đã học hết dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9, các em có thể giải các bài toán phối hợp các điều kiện chia hết để điền những chữ số thích hợp : Bài toán 2 : Thay a, b trong số 2003ab bởi chữ số thích hợp để số này đồng thời chia hết cho 2, 5 và 9. Phân tích : Tìm chữ số nào trước, muốn tìm chữ số ấy dựa vào dấu hiệu nào ? b là chữ số tận cùng nên tìm b dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2 và 5. Vậy tìm a sẽ dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9. Một số chia hết cho 2 và 5 khi số đó có tận cùng là 0. Từ đó ta có cách giải sau. Giải : Số 2003ab đồng thời chia hết cho 2 và 5 nên b = 0. Thay b = 0 vào số 2003ab ta được 200a0. Số này chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của nó chia hết cho 9. Vậy (2 +0 +0 +3 +0) chia hết cho 9 hay (5 +a) chia hết cho 9. Vì 5 chia cho 9 dư 5 nên a chỉ có thể là 4. Ta biết rằng: A chia cho B dư r tức là : - A - r chia hết cho B (1) - A + (B - r) chia hết cho B (2) Từ đó các bạn có thể giải quyết bài toán : Bài toán 3 : Cho A = x459y. Hãy thay x, y bởi chữ số thích hợp để A chia cho 2 ; 5 và 9 đều dư 1. Nhận xét : A chia cho 2 ; 5 và 9 đều dư 1 nên A - 1 đồng thời chia hết cho 2 ; 5 và 9. Vậy ta có thể giải bài toán dựa vào điều kiện (1) A - r chia hết cho B để giải. Giải : Vì A chia cho 2 ; 5 và 9 đều dư 1 nên A - 1 chia hết cho 2 ; 5 và 9. Vậy chữ số tận cùng của A - 1 phải bằng 0, suy ra y = 1. Vì A - 1 chia hết cho 9 nên x + 4 + 5 + 9 + 0 chia hết cho 9 hay x + 18 chia hết cho 9. Do 18 chia hết cho 9 nên x chia hết cho 9, nhưng x là chữ số hàng cao nhất nên x khác 0. Từ đó x chỉ có thể bằng 9. Thay x = 9 ; y = 1 vào A ta được số 94591. ở bài toán trên A chia cho các số có cùng số dư. Bây giờ ta xét : Bài toán 4 : Tìm số tự nhiên bé nhất chia cho 2 dư 1, chia cho 3 dư 2 ; chia cho 4 dư 3 và chia cho 5 dư 4. Tuy các số dư khác nhau nhưng : 2 - 1 = 1 ; 3 - 2 = 1 ; 4 - 3 = 1 ; 5 - 4 = 1. Như vậy ta có thể sử dụng điều kiện (2) A + (B - r) chia hết cho B để giải bài toán này. Giải : Gọi số cần tìm là A. Vì A chia cho 2 dư 1 và A chia cho 5 dư 4 nên A + 1 đồng thời chia hết cho 2 và 5. Vậy chữ số tận cùng của A + 1 là 0. Hiển nhiên A +1 không thể có 1 chữ số. Nếu A + 1 có 2 chữ số thì có dạng x0. Vì x0 chia hết cho 3 nên x chỉ có thể là 3 ; 6 ; 9 ta có số 30 ; 60 ; 90. Trong 3 số đó chỉ có 60 là chia hết cho 4. Vậy A +1 = 60 A = 60 - 1 A = 59 Do đó số cần tìm là 59. Bài viết này mới chỉ đề cập tới một phương pháp để vận dụng tiêu chuẩn chia hết cho các số. Giải các bài toán xác định các chữ số chưa biết của một số các bạn có thể tìm thêm những phương pháp khác và luyện tập qua các bài tập sau : Bài 1 : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 1 sao cho khi chia cho 2 ; 3 ; 4 ; 5 và 7 đều dư 1. Bài 2 : Cho số a765b ; tìm a ; b để khi thay vào số đã cho ta được số có 5 chữ số chia cho 2 dư 1 ; chia cho 5 dư 3 và chia cho 9 dư 7. Bài 3 : Hãy viết thêm 3 chữ số vào bên phải số 567 để được số lẻ có 6 chữ số khác nhau, khi chia số đó cho 5 và 9 đều dư 1. Bài 4 : Tìm số có 4 chữ số chia hết cho 2 ; 3 và 5, biết rằng khi đổi chõ các chữ số hàng đơn vị với hàng trăm hoặc hàng chục với hàng nghìn thì số đó không thay đổi. Chúc các bạn thành công! Phương Hoa (Ngõ 201, Cầu giấy, Hà Nội) CẮT GHÉP HÌNH TRÊN GIẤY KẺ Ô VUÔNG Việc giải bài toán cắt, ghép hình đòi hỏi phải quan sát, phân tích tổng hợp các yếu tố: đỉnh, góc, cạnh của hình ban đầu để tìm ra mối quan hệ giữa các mảnh hình sẽ cắt ra hoặc phải ghép lại theo yêu cầu bài toán. Nghĩa là phải tưởng tượng về các phép cắt thử, ghép thử so sánh giữa hình ban đầu và hình phải ghép được. Vì vậy giải bài toán cắt, ghép hình là khó và phức tạp, cũng vì vậy mà sức hấp dẫn và sự lôi kéo của các bài tập này càng lớn. Việc vẽ hình trên giấy kẻ ô vuông sẽ giúp ta dễ hình dung hơn phần nào được để nguyên, phần nào phải cắt, ghép và phải cắt ghép như thế nào? Việc giải bài toán cắt ghép hình có thể tiến hành theo qui trình: 1. Vẽ hình đã cho trên giấy kẻ ô vuông sao cho có thể đếm được số ô vuông của hình vẽ. Quan sát đặc điểm các yếu tố hình đã cho: đỉnh, cạnh, góc; vị trí; hình dạng và độ lớn. Tưởng tượng ra hình cần ghép được (có thể vẽ thử trên giấy kẻ ô vuông). 2. Phân tích, đối chiếu, so sánh các yếu tố hình đã cho và cần tìm xác định các yếu tố nào đã được thỏa mãn; xác định được bộ phận nào cần cắt ghép. Thực hiện cắt ghép thử. 3. Cắt ghép theo sự phân tích bước 2. 4. Kiểm tra các yêu cầu của bài toán, tìm các cách ghép khác và chọn cách tốt nhất. Ví dụ 1: Có một tờ bìa hình vuông đã cắt đi 1/4 hình vuông đó ở một góc. Hãy chia hình đó thành 4 phần bằng nhau. Bước 1: Vẽ hình đã cho trên giấy kẻ ô vuông. Hình đã cho tạo thành từ 3 ô vuông lớn, mỗi ô lại có 4 ô vuông nhỏ. Tất cả có 12 ô vuông nhỏ. Bước 2: Hình cắt ra thành 4 mảnh bằng nhau, như vậy mỗi mảnh có 3 ô vuông nhỏ. Nếu mỗi ô vuông lớn cũng bỏ đi một ô vuông nhỏ thì mỗi ô vuông lớn còn lại 3 ô vuông là mảnh cần cắt ra. Các ô vuông nhỏ được cắt từ ô vuông lớn khi ghép lại phải là mảnh còn lại. Vì vậy mảnh còn lại có dạng ô vuông lớn cắt đi ô vuông nhỏ, nên mảnh còn lại là phần liên thông gồm 3 ô vuông ở 3 ô vuông lớn. Bước 3: Cắt theo đường ABDEFGH ta được 1 mảnh. Cắt mảnh còn lại theo 2 đường: FI và CD ta được 3 mảnh còn lại. Bước 4: Bốn mảnh được cắt là: MHGFIN; HGEBA; FIKCD; CDAQP đều là 1 ô vuông lớn bỏ đi một ô vuông nhỏ còn 3 ô vuông có hình dạng như nhau và bằng nhau về độ lớn. Ví dụ 2: Chia hình vuông thành 4 hình tam giác có diện tích bằng nhau. Bước 1: Vẽ hình vuông trên giấy kẻ ô vuông. Hình vuông được chia thành 16 ô vuông nhỏ. Bước 2: Mảnh được cắt ra là các tam giác có diện tích bằng nhau, mỗi tam giác có diện tích 4 ô vuông. Khi đó cạnh đáy và chiều cao tương ứng của mỗi tam giác có độ dài bằng độ dài cạnh 4 và 2 ô vuông. Bước 3: Cắt hình vuông theo hai đường chéo AC và BD tạo ra bốn tam giác OAD; ODC; OCB và OBA bằng nhau và cùng diện tích bằng 4 ô vuông nhỏ. Bước 4: Các tam giác OAD; ODC; OCB; OBA bằng nhau: Gấp hình vuông theo hai đường chéo ta được 4 tam giác trùng khít lên nhau, do đó nó bằng nhau và bằng nhau về diện tích. Cách khác: Mỗi mảnh được cắt ra là một tam giác có diện tích 4 ô vuông, nên tam giác đó có cạnh và độ dài đường cao tương ứng là độ dài cạnh 4 và 2 ô vuông. Nếu lấy AB làm 1 cạnh của 1 tam giác được cắt ra thì đỉnh còn lại của tam giác thuộc đường thẳng MN, các vị trí của đỉnh có thể là M, F, O. Vì vậy ta còn có các cách giải sau: Cách 2: Cắt theo các đường BM; CM; MN. Cách 3: Cắt theo đường AE; BE; AF. Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật có độ dài cạnh là 9 cm và 16 cm. Hãy cắt hình chữ nhật thành 2 mảnh để ghép lại được 1 hình vuông. Bước 1: Vẽ hình chữ nhật trên giấy kẻ ô vuông. Số ô vuông là: 9 x 16 = 144 (ô vuông). Hình ghép được từ hai mảnh cắt ra là hình vuông cùng diện tích là 144 ô nên mỗi cạnh hình vuông độ dài là cạnh 12 ô vuông. Bước 2: Hình vuông ghép lại từ hai mảnh có dạng như hình AEFG. Khi đó AD kéo dài DG có độ dài 3 ô vuông và AB bị rút ngắn bớt đi BE có độ dài cạnh 4 ô vuông. Hình chữ nhật DHFG có độ dài cạnh tương ứng 12 ô; và 3 ô là hình được ghép với hình chữ nhật AEHD để có hình vuông AEFG. Nếu cắt theo đường XY thì hình chữ nhật tương ứng để ghép được hình chữ nhật DHFG là hình chữ nhật YTCX. Khi đó B chuyển tới vị trí N; E chuyển tới vị trí M và M chuyển tới vị trí Y. Bước 3: Cắt hình chữ nhật theo đường XYZMNE; DX = 4; YZ = 4; MN = 4 ta được hai mảnh là ADXYZMNE và CXYZMNEB. Bước 4: Ghép mảnh CXYZMNEB trùng với FGDXYZMN ta được hình vuông AGFE. Bài tập tự giải: Bài 1: Cắt một hình chữ thập thành 5 mảnh ghép lại được một hình vuông. Bài 2: Hãy cắt 2 hình vuông bất kì thành các mảnh để ghép lại được một hình vuông. Bài 3: Có thể cắt các hình vuông ABEF; ACGH để ghép lại thành hình vuông BCMN không? Lê Duy Ninh ĐHSP Hà Nội . PHƯƠNG PHÁP "GÁN ĐƠN VỊ - CHỈNH ĐÚNG" Trong Toán Tuổi thơ số 2 (12/2000) đã giới thiệu phương pháp "Gán cho số phải tìm một giá trị sai bất kì rồi tìm cách chỉnh lại cho đúng" (gọi tắt là "gán sai - chỉnh đúng"). Trong các giá trị bất kì ấy nếu gán số 1 (tức đơn vị) ta có phương pháp "gán đơn vị - chỉnh đúng". Sau đây là vài ví dụ : Ví dụ 1.Tuổi ông hơn tuổi cháu là 66 năm. Biết rằng tuổi ông bao nhiêu năm thì tuổi cháu bấy nhiêu tháng . hãy tính tuổi ông và tuổi cháu (tương tự bài Tính tuổi - cuộc thi Giải toán qua thư TTT số 1) Giải Giả sử cháu 1 tuổi (tức là 12 tháng) thì ông 12 tuổi. Lúc đó ông hơn cháu : 12 - 1 = 11 (tuổi) Nhưng thực ra ông hơn cháu 66 tuổi, tức là gấp 6 lần 11 tuổi (66 : 11 = 6). Do đó thực ra tuổi ông là : 12 x 6 = 72 (tuổi) Còn tuổi cháu là : 1 x 6 = 6 (tuổi) thử lại 6 tuổi = 72 tháng ; 72 - 6 = 66 (tuổi) Đáp số :Ông : 72 tuổi Cháu : 6 tuổi *Ví dụ 2: Một vị phụ huynh học sinh hỏi thầy giáo : "Thưa thầy, trong lớp có bao nhiêu học sinh ?" Thầy cười và trả lưòi :" Nếu có thêm một số trẻ em bằng số hiện có và thêm một nửa số đó, rồi lại thêm 1/4 số đó, rồi cả thêm con của quý vị (một lần nữa) thì sẽ vừa tròn 100". Hỏi lơp có bao nhiêu học sinh ? Giải: Theo đầu bài thì tổng của tất cả số HS và tất cả số HS và 1/2 số HS và 1/4 số HS của lớp sẽ bằng : 100 - 1 = 99 (em) Để tìm được số HS của lớp ta có thể tìm trước 1/4 số HS cả lớp. Giả sử 1/4 số HS của lớp là 1 em thì cả lớp có 4 HS Vậy : 1/4 số HS của lớp là : 4 : 2 = 2 (em). Suy ra tổng nói trên bằng : 4 + 4 + 2 + 1 = 11 9em) Nhưng thực tế thì tổng ấy phải bằng 99 em, gấp 9 lần 11 em (99 : 11 = 9) Suy ra số HS của lớp là : 4 x 9 = 36 (em) Thử lại: 36 + 36 = 36/2 + 36/4 + 1 = 100 Đáp số: 36 học sinh. Phạm Đình Thực TP.Hồ Chí Minh