55 Bài tập Vận dụng cao Tổ hợp, chỉnh hợp - Năm 2018 - Huỳnh Đức Khánh (Có lời giải)

u 3. Cho tập có phần tử Biết rằng số tập con của có phần tử nhiều gấp lần số tập con của có phần tử. Hãy tìm sao cho số tập con gồm phần tử của là nhiều nhất. A. B. C. D. Lời giải. Số tập con có phần tử của tập là số tập con có phần tử của tập là Theo giả thiết, ta có Ta dễ dàng tìm được trong tất cả các với thì lớn nhất. Chọn B. Câu 4. Cho tập hợp gồm phần tử Tìm biết rằng trong số các phần tử của có đúng tập con có số phần tử là lẻ. A. B. C. D. Lời giải. Nếu lẻ số tập con có số phần tử lẻ là: Ta có = Cho = Cho Suy ra không thỏa mãn. Nếu chẵn, tương tự ta có được Chọn A. Vấn đề 2. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Câu 5. Với và thỏa mãn Tính A. B. C. D. Lời giải. Ta có Với Chọn C. Câu 6. Tìm số nguyên dương thỏa mãn với là số các hoán vị của tập hợp có phần tử. A. B. C. D. Lời giải. Ta có với Áp dụng ta có Cộng các đẳng thức ở ta được Do Theo đề, ta có Chọn A. Câu 7. Tính giá trị của biểu thức A. B. C. D. Lời giải. Ta có Chọn C. Câu 8. Tìm số tự nhiên thỏa mãn A. B. C. D. Lời giải. Ta có Nhận hai vế cho ta được Chọn C. Vấn đề 3. KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NIUTƠN ĐỂ TÍNH TỔNG Câu 9. Tính tổng A. B. C. D. Lời giải. Khai triển nhị thức Niutơn của ta có Cho , ta được Chọn A. Câu 10. Cho tổng biết với là các số nguyên. Giá trị của bằng A. B. C. D. Lời giải. Xét khai triển Cho ta được Chọn C. Câu 11. Giải phương trình trên tập A. B. C. D. Lời giải. Xét khai triển Thay ta được: Thay ta được: Trừ vế theo vế của và ta được: Theo đề, suy ra Chọn B. Vấn đề 4. TÍNH TỔNG NHỜ HỆ THỨC Câu 12. Tính tổng A. B. C. D. Lời giải. Xét khai triển Cho ta được Vì Chọn B. Câu 13. Tìm số nguyên dương thỏa mãn . A. B. C. D. Lời giải. Ta có . Áp dụng công thức ta có Từ và , suy ra Theo giả thiết: Chọn C. Vấn đề 5. TÍNH TỔNG NHỜ KHAI TRIỂN NIU TƠN VÀ CHO Câu 14. Tìm số nguyên dương thỏa mãn . A. B. C. D. Lời giải. Xét khai triển . Cho vào ta được: . Cho vào ta được: . Cộng vế theo vế của và ta được: . Chọn B. Câu 15. Biết với là các số nguyên dương và không chia hết cho Tính A. B. C. D. Lời giải. Xét khai triển Thay vào ta được: Thay vào ta được: Cộng vế theo vế của và ta được: Chọn D. Câu 16. Gọi Biết rằng chia hết cho có thể nhận giá trị nào dưới đây ? A. B. C. D. Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niutơn ta có Thay vào ta được: Thay vào ta được: Cộng vế theo vế, ta suy ra Chọn A. Câu 17. Gọi Biết chia hết cho số có thể nhận giá trị nào dưới đây ? A. B. C. D. Lời giải. Ta có Xét Thay vào ta được: Thay vào ta được: Trừ vế theo vế của và ta được: Chọn A. Vấn đề 6. KỸ THUẬT TÍNH TỔNG NHỜ VIẾT NGƯỢC BIỂU THỨC Câu 18. Tìm số nguyên dương thỏa mãn A. B. C. D. Lời giải. Đặt Viết ngược lại biểu thức của ta được Cộng và vế theo vế và kết hợp với công thức ta có Theo giả thiết: Chọn B. Câu 19. Cho là số tự nhiên thỏa mãn Khẳng định nào sau đây đúng ? A. B. C. D. Lời giải. Đặt Viết ngược lại biểu thức của ta được Cộng và vế theo vế và kết hợp với công thức ta có Theo giả thiết: Chọn B. Câu 20. Tính tổng A. B. C. D. Lời giải. Đặt Xét Viết ngược lại biểu thức của ta được Cộng và vế theo vế và kết hợp với công thức ta có Suy ra Chọn C. Phần 2 – Vận dụng cao Vấn đề 1. TÍNH TỔNG (BÀI TOÁN BỐC BI) Câu 1. Tính tổng A. B. C. D. Lời giải. Xét đa thức: Cân bằng hệ số của ở hai vế, ta được hay Suy ra Chọn C. Cách 2. Nhận thấy biểu thức là số cách lấy tùy ý viên bi từ hộp chứa viên bi xanh và viên bi đỏ (các viên bi cùng màu giống nhau) thì thu được kết quả Bài tập tương tự. Tính tổng A. B. C. D. Lời giải. Tương tự như bài trên, biểu thức cần tính là số cách lấy tùy ý viên bi từ hộp chứa viên bi xanh và viên bi đỏ (các viên bi cùng màu giống nhau) thì thu được kết quả Chọn B. Câu 2. Tính tổng A. B. C. D. Lời giải. Ta có Viết ngược lại biểu thức của ta được Cộng và vế theo vế và kết hợp với công thức ta có Vậy Chọn C. Câu 3. Tính tổng A. B. C. D. Lời giải. Áp dụng công thức ta được Suy ra Chọn C. Câu 4. Tính tổng A. B. C. D. Lời giải. Xét đa thức: Cân bằng hệ số của ở hai vế, ta được Suy ra Chọn D. Câu 5. Tìm số tự nhiên thỏa mãn A. B. C. D. Lờigiải. Nhận thấy được vế trái có dạng số cách lấy tùy ý viên bi từ hộp chứa viên bi xanh và viên bi đỏ (các viên bi cùng màu giống nhau) thì thu được kết quả Khi đó, bài toán = = = thỏa mãn Chọn D. Vấn đề 2. DŨNG KỸ THUẬT ĐẠO HÀM ĐỂ TÍNH TỔNG Câu 6. Cho tổng biết với Giá trị của bằng A. B. C. D. Lời giải. Xét Lấy đạo hàm hai vế ta được: Thay vào ta được: Chọn C. Cách 2. (Dành cho hs đang học 11) Áp dụng công thức ta được Bài tập tương tự. Tìm thỏa mãn . ĐS: Câu 7. Cho tổng biết với là các số nguyên dương. Tính giá trị biểu thức A. B. C. D. Lời giải. Ta có Cộng và vế theo vế, ta được Lấy đạo hàm hai vế của theo ẩn ta được Thay vào ta được hay Chọn C. Câu 8. Tổng bằng: A. B. C. D. Lời giải. Xét Đạo hàm hai vế ta được: Thay vào biểu thức trên ta được: Suy ra Chọn C. Câu 9. Tính tổng A. B. C. D. Lời giải. Ta có Chọn B. Câu 10. Cho tổng biết với là các số nguyên. Giá trị của bằng A. B. C. D. Lời giải. Xét Đạo hàm hai vế ta được: Tiếp tục đạo hàm hai vế lần nữa, ta được Thay vào biểu thức trên, ta được: Chọn C. Câu 11. Cho số nguyên dương thỏa mãn Khẳng định nào sau đây đúng? A. B. C. D. Lời giải. Xét Nhân hai vế của cho ta được: Lấy đạo hàm hai vế của theo ẩn ta được Thay vào ta được = Nếu vô lí. = Nếu vô lí. = Kiểm tra thỏa mãn. Chọn B. Bài tập tương tự. Chứng minh Hướng dẫn. Xét Bài tập tương tự. Chứng minh Hướng dẫn. Xét Bài tập tương tự. Chứng minh Hướng dẫn. Xét Câu 12. Tính tổng A. B. C. D. Lời giải. Xét Chia hai vế cho ta được Lấy đạo hàm hai vế ta được Thay vào biểu thức trên ta được Chọn A. Câu 13. Tính tổng A. B. C. D. Lời giải. Xét Đạo hàm hai vế ta được: Nhân vào hai vế ta được: Thay vào biểu thức trên ta được: Chọn A. Câu 14. Cho tổng biết với là các số nguyên và đều không chia hết cho Giá trị của bằng A. B. C. D. Lời giải. Xét Đạo hàm hai vế ta được: Nhận hai vế cho ta được: Tiếp tục đạo hàm hai vế ta được: Thay vào biểu thức trên, ta được: hay Chọn B. Bài tập tương tự: Chứng minh Hướng dẫn: Xét Bài tập tương tự: Chứng minh Hướng dẫn: Xét Câu 15. Tính tổng A. B. C. D. Lời giải. Xét Chọn B. Vấn đề 3. DÙNG KỸ THUẬT LẤY TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH TỔNG Câu 16. Cho tổng biết với là các số nguyên dương và đều không chia hết cho phân số tối giản. Tính A. B. C. D. Lời giải. Xét Lấy tích phân hai vế của với cận từ đến ta được Vậy Chọn D. Câu 2. Áp dụng công thức ta được Suy ra Bài tập tương tự. Chứng minh Hướng dẫn. Xét Câu 17. Tính tổng A. B. C. D. Lời giải. Áp dụng công thức ta được Chọn D. Cách 2. Xét khai triển Lấy tích phân hai vế, cận từ đến ta được Suy ra Câu 18. Cho tổng biết với là các số nguyên dương, phân số tối giản. Tính A. B. C. D. Lời giải. Ta viết lại Xét Suy ra Chọn D. Câu 19. Tổng bằng A. B. C. D. Lời giải. Xét Chọn B. Câu 20. Cho là số tự nhiên thỏa mãn Khẳng định nào sau đây đúng? A. B. C. D. Lời giải. Áp dụng công thức hai lần ta được Do đó Chọn B. Cách 2. Ta có = = Câu 21. Biết rằng với là các số nguyên dương và tối giản. Hiệu bằng A. B. C. D. Lời giải. Áp dụng công thức hai lần ta được Do đó Xét Chia hai vế cho ta được Cho ta được Suy ra Chọn B. Câu 22. Biết với là các số nguyên dương và phân số tối giản. Tính A. B. C. D. Lời giải. Xét Vậy Chọn C. Câu 23. Biết rằng với là các số nguyên dương và tối giản. Hiệu bằng A. B. C. D. Lời giải. Xét Suy ra Chọn C. Câu 24. Biết với là các số nguyên dương và Tổng bằng A. B. C. D. Lời giải. Ta thực hiện theo sơ đồ sau Khi đó Chọn C. Câu 25. Cho tổng với Tìm số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn A. B. C. D. Lời giải. Xét . Khi đó ta được Theo đề bài, ta cần có Chọn D. Vấn đề 4. KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI Câu 26. Cho biết với Giá trị của bằng A. B. C. D. Lời giải. Ta có Do đó Suy ra Chọn B. Câu 27. Biết rằng với là những số nguyên dương và là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng ? A. B. C. D. Lời giải. Viết thu gọn Ta có Do đó Suy ra Chọn C. Câu 28. Cho và Khẳng định nào sau đây đúng ? A. B. C. D. Lời giải. Ta có Suy ra Ta có Vậy ta có Chọn A. Câu 29. Tính tổng A. B. C. D. Lời giải. Ta có Chọn D. Nhận xét: Chứng minh công thức tổng quát đã chứng minh ở các bài trước bằng hai cách. Cách thứ nhất là dùng công thức Cách thứ hai là thấy vế trái là hệ số của trong khai triển Ta coi đây là một cấp số nhân với và nên tổng trên bằng Hệ số của ở biểu thức cuối cùng bằng hệ số của ở khai triển và bằng Câu 30. Gọi và Khẳng định nào sau đây đúng? A. B. C. D. Lời giải. Ta có Áp dụng công thức ta được Suy ra Đặt Viết ngược ta có Cộng vế theo vế ta được Từ đó suy ra Chọn B. Vấn đề 5. KỸ THUẬT DÙNG SỐ PHỨC ĐỂ TÍNH TỔNG Đặc điểm nhận dạng để ta ứng dụng số phức vào là biểu thức cần tính có = Các hạng tử chẵn (hoặc lẻ) có dấu đối xứng, ví dụ hoặc hoặc = Tổng Câu 31. Tổng bằng A. B. C. D. Lời giải. Xét Mặt khác So sánh phần ảo, ta kết luận được Chọn C. Câu 32. Tổng bằng A. B. C. D. Lời giải. Xét Mặt khác So sánh phần thực, ta kết luận được Xét ta được Từ và , suy ra Chọn C. Câu 33. Tổng bằng A. B. C. D. Lời giải. Xét khai triển Mặt khác So sánh phần thực, ta được Chọn A. Câu 34. Khai triển biểu thức được viết thành Tính tổng A. B. C. D. Lời giải. Thay ta có So sánh phần ảo hai vế ta được Chọn B. Câu 35. Khai triển của biểu thức được viết thành Tổng bằng A. B. C. D. Lời giải. Ta có Thay ta có So sánh phần thực hai vế, ta được Chọn A. ---------- HẾT ----------