20 Chuyên đề bồi dưỡng toán 8

où nghieäm nguyeân     01 1 (1) 1; 1 11 x x U xx            Ví duï 3: Tìm ;x y Z  thoaû maõn:  23 1 1x y   (3) Ta coù: (3)    23 1 1 2x y y y      .3x laø soá leû  ; 2y y  laø hai soá leû lieân tieáp  ; 2 1 ; 2y y y y     laø caùc luyõ thöøa cuûa 3, neân:      3 * 3 2 3 2 3 ** m m n n y m n x m n y             Vôùi: 0; 1 1; 1.m n y x       Vôùi: 1; 1m n   Töø          3 * ; ** ; 2 1 2 3 y y y y        ( voâ lí) Phöông trình coù nghieäm nguyeân: 1 1 x y    - PHÖÔNG PHAÙP 4: Phöông phaùp söû duïng baát ñaúng thöùc  Phöông phaùp: Phöông phaùp naøy thöôøng söû duïng vôùi caùc phöông trình maø hai veá laø nhöõng ña thöùc coù tính bieán thieân khaùc nhau. - AÙp duïng caùc baát ñaúng thöùc thöôøng gaëp: *Baát ñaúng thöùc Coâ – si: Cho n soá khoâng aâm: 1 2 3; ; ;......; na a a a . Khi ñoù: 1 2 3 1 2 3 ...... . . .......n n n a a a a a a a a n      . Daáu “=” xaûy ra 1 2 3 ...... na a a a     * Baát ñaúng thöùc Bunhiacoâpxki: Cho 2n soá thöïc: 1 2 3; ; ;......; na a a a vaø 1 2 3; ; ;......; nb b b b . Khi ñoù: 20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG     21 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3. . . .... . . . .... . ....n n n na b a b a b a b a a a a b b b b             . Daáu “=” xaûy ra  1;i ia kb i n   . *Baát ñaúng thöùcgiaù trò tuyeát ñoái: . 0 . 0 a b a b a b a b a b          Caùc ví duï minh hoaï: Ví duï 1: Tìm ;x y Z  thoaû: . . . 3x y y z z x z x y    (1) AÙp duïng BÑT Coâ – si. Ta coù: 33. . . . . .3 3. . . 3. . .x y y z z x x y y z z x x y z z x y z x y      . 3 . . 1 . . 1 1x y z x y z x y z        Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø: 1x y z   Ví duï 2: Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình:    2 2 21 3 1x y x y     (2) (Toaùn Tuoåi thô 2) Theo Bunhiacoâpxki,ta coù:       2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 3 1x y x y x y          Daáu “=” xaûy ra 1 1 1 1 1 x y x y      Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø: 1x y  Ví duï 3: Tìm taát caû caùc soá nguyeân x thoaû maõn: 3 10 101 990 1000 2004x x x x x          (3)  Nhaän xeùt – Tìm höôùng giaûi: Ta nhaän thaáy: 2104 = 3 + 10 + 101 + 990 + 1000 =101 + 2003 vaø a a  Ta coù:(3) 3 10 101 990 1000 2004x x x x x           . 20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG Maø 3 3 10 10 101 101 2004 101 2003 101 1 990 990 1000 1000 x x x x a a x x x x x x x x                         Do ñoù:        1 101 1 101 1;0;1 102; 101; 100x x x             . Vôùi 101 2004 2003x     (voâ lí). Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø:  102; 100x   1) T×m c¸c sè nguyªn x,y,z tho¶ m·n: 2 2 2 3 2 3x y z xy y z      V× x,y,z lμ c¸c sè nguyªn nªn 2 2 2 3 2 3x y z xy y z       2 22 2 2 2 233 2 3 0 3 3 2 1 04 4y yx y z xy y z x xy y z z                            2 2 23 1 1 0 2 2 y yx z                (*) Mμ   2 2 23 1 1 0 2 2 y yx z               ,x y R   2 2 23 1 1 0 2 2 y yx z                0 2 1 1 0 2 2 11 0 yx x y y zz              C¸c sè x,y,z ph¶i t×m lμ 1 2 1 x y z    PHÖÔNG PHAÙP 5: Phöông phaùp löïa choïn Phöông phaùp: Phöông phaùp naøy ñöôïc söû duïng vôùi caùc phöông trình maø ta coù theå nhaåm (phaùt hieän deå daøng) ñöôïc moät vaøi giaù trò nghieäm - Treân cô sôû caùc giaù trò nghieäm ñaõ bieát. AÙp duïng caùc tính chaát nhö chia heát; soá dö; soá chính phöông; chöõ soá taän cuøng .. ta chöùng toû raèng vôùi caùc giaù trò khaùc phöông trình voâ nghieäm Caùc ví duï minh hoaï: Ví duï 1: Tìm ;x y Z  thoaû maõn: 6 3 43 1x x y    Nhaän xeùt – Tìm höôùng giaûi: 20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG Ta thaáy vôùi 0; 1x y   thì phöông trình ñöôïc nghieäm ñuùng. Ta caàn chöùng minh phöông trình voâ nghieäm vôùi 0x  + Vôùi 0; 1x y   thì phöông trình ñöôïc nghieäm ñuùng + Vôùi 0x  . Khi ñoù:    2 26 3 6 3 6 3 3 4 32 1 3 1 4 4 1 2x x x x x x x y x             (*) Vì    3 31 ; 2x x  laø hai soá nguyeân lieân tieáp neân khoâng coù giaù trò naøo cuûa y thoaû (*) Vaäy 0; 1x y   laø nghieäm cuûa phöông trình. Ví duï 2: Tìm ;x y Z  thoaû: 2 2 11 3 yx x    (2) (Taïp chí Toaùn hoïc vaø tuoåi treû ) Goïi b laø chöõ soá taän cuøng cuûa x ( Vôùi  0;1;2;...;9b . Khi ñoù:  2 1x x  coù chöõ soá taän cuøng laø: 1, 5 hoaëc 9. (*) Maët khaùc: 2 13 y laø luyõ thöøa baäc leû cuûa 3 neân coù taän cuøng laø 3 hoaëc 7. (**) Töø (*) vaø (**) suy ra phöông trình voâ nghieäm. Ví duï 3: Tìm ;x y Z  thoaû maõn: 2 26 13 100x xy y   (3) (3)        2 2 2 2 5 3 4 25 25 y x y y n n           Do ñoù:    5; 4; 3;0;3;4;5 3;9;11;13y x      Phöông trình coù nghieäm nguyeân:                 ; 5;3 ; 4;9 ; 3;11 ; 0;13 ; 3;11 ; 4;9 ; 5;3x y     PHÖÔNG PHAÙP 6: Phöông phaùp luøi voâ haïn (xuoáng thang) Phöông phaùp: Phöông phaùp naøy thöôøng söû duïng vôùi nhöõng phöông trình coù (n – 1) aån maø heä soá coù öôùc chung khaùc 1 - Döïa vaøo tính chaát chia heát ta bieåu dieãn aån theo aån phuï nhaèm “haï” (giaûm bôùt) haèng soá töï do, ñeå coù ñöôïc phöông trình ñôn giaûn hôn. - Söû duïng linh hoaït caùc phöông phaùp ñeå giaûi phöông trình ñoù. 20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG Caùc ví duï minh hoaï: Ví duï 1: Giaûi phöông trình: 3 3 33 9 0x y z   (1)  Nhaän xeùt – Tìm höôùng giaûi: Ta thaáy  3 3 3 3 3 33 9 0 3 9 3x y z x y z       maø  3 33 9 3y z   neân 3 3x  Ta coù: (1)  3 3 3 3 13 9 3 3 3 3x y z x x x x         Khi ñoù: (1)    3 3 3 3 3 3 31 1 127 3 9 3 9 3 3 3 3 3x y z x y z y y y y             .  3 3 3 31 1 19 27 3 3 3 3 3x y z z z y z         . * Tieáp tuïc söï bieåu dieãn treân vaø neáu goïi 0 0 0; ;x y z laø nghieäm cuûa (1) vaø thì  0 0 0; ;3 x y zU vaø 0 0 00 ; ; 9x y z  . Thöïc hieän thöû choïn ta ñöôïc: 0 0 0 0x y z   Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø: 0 0 0 0x y z   c¸c bμi tËp KH¸C 1/Dïng ®Þnh nghÜa 1) Cho abc = 1 vμ 363 a . . Chøng minh r»ng  3 2a b2+c2> ab+bc+ac Gi¶i Ta cã hiÖu: 20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG  3 2a b2+c2- ab- bc – ac =  4 2a  12 2a b2+c2- ab- bc – ac = (  4 2a b2+c2- ab– ac+ 2bc) +  12 2a 3bc =( 2 a -b- c)2 + a abca 12 363  =( 2 a -b- c)2 + a abca 12 363  >0 (v× abc=1 vμ a3 > 36 nªn a >0 ) VËy :  3 2a b2+c2> ab+bc+ac §iÒu ph¶i chøng minh 2) Chøng minh r»ng a) )1.(21 2244  zxxyxzyx b) víi mäi sè thùc a , b, c ta cã : 036245 22  baabba c) 024222 22  baabba Gi¶i : a) XÐt hiÖu : H = xxzxyxzyx 22221 222244  =      22222 1 xzxyx H0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh b) VÕ tr¸i cã thÓ viÕt H =     1112 22  bba  H > 0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh c) vÕ tr¸i cã thÓ viÕt H =    22 11  bba  H  0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh Ii / Dïng biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng 1) Cho x > y vμ xy =1 .Chøng minh r»ng :    82 222   yx yx Gi¶i : Ta cã     22 2222  yxxyyxyx (v× xy = 1)        4.4 24222  yxyxyx Do ®ã B§T cÇn chøng minh t−¬ng ®−¬ng víi 20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG      224 .844 yxyxyx       044 24  yxyx    22 2 0x y     B§T cuèi ®óng nªn ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh 2) Cho xy  1 .Chøng minh r»ng : xyyx  1 2 1 1 1 1 22 Gi¶i : Ta cã xyyx  1 2 1 1 1 1 22  01 1 1 1 1 1 1 1 222          xyyyx        01.11.1 2 2 2 2    xyy yxy xyx xxy        01.1 )(1.1 )( 22    xyy yxyxyx xyx         01.1.1 122 2   xyyx xyxy B§T cuèi nμy ®óng do xy > 1 .VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh Iii / dïng bÊt ®¼ng thøc phô 1) Cho a , b, c lμ c¸c sè thùc vμ a + b +c =1 Chøng minh r»ng 3 1222  cba Gi¶i : ¸p dông B§T BunhiaC«pski cho 3 sè (1,1,1) vμ (a,b,c) Ta cã     2222 .111.1.1.1 cbacba      2222 .3 cbacba   3 1222  cba (v× a+b+c =1 ) (®pcm) 2) Cho a,b,c lμ c¸c sè d−¬ng Chøng minh r»ng   9111.     cba cba (1) Gi¶i : (1)  9111  a c a c c b a b c a b a  93           b c c b a c c a a b b a 20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG ¸p dông B§T phô 2 x y y x Víi x,y > 0 Ta cã B§T cuèi cïng lu«n ®óng VËy   9111.     cba cba (®pcm) Iv / dïng ph−¬ng ph¸p b¾c cÇu 1) Cho 0 < a, b,c <1 .Chøng minh r»ng : accbbacba 222333 3222  Gi¶i : Do a <1  2a <1 vμ b <1 Nªn    0101.1 2222  bababa Hay baba  221 (1) MÆt kh¸c 0 <a,b <1  32 aa  ; 3bb   3321 baa  VËy baba 233 1 T−¬ng tù ta cã : acca cbcb 233 233 1 1    accbbacba 222333 3222  (®pcm) 2) So s¸nh 31 11 vμ 17 14 Gi¶i : Ta thÊy 1131 <  1111 5 55 5632 2 2 2   MÆt kh¸c  1456 4.14 4 14 142 2 2 16 17    Vëy 31 11 < 17 14 (®pcm) V/ dïng tÝnh chÊt tØ sè vÝ dô 4: Cho 4 sè a,b,c,d bÊt kú, chøng minh r»ng: 222222 )()( dcbadbca  Gi¶i: Dïng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski ta cã ac + bd  2222 . dcba  mμ       222222 2 dcbdacbadbca    22222222 .2 dcdcbaba  20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG  222222 )()( dcbadbca 