100 Bài tập Vận dụng cao Lượng giác - Năm 2018 - Huỳnh Đức Khánh (Có lời giải)

ùng với nghiệm đã tính) và thuộc Vậy có hai giá trị của thỏa mãn. Chọn B. Câu 66. Cho phương trình Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm thuộc đoạn A. B. C. D. Lời giải. Ta có Phương trình Đặt với nên Khi đó phương trình trở thành = Ứng với mỗi thì phương trình sẽ cho ta hai giá trị của = Với thì phương trình cho ta đúng một giá trị của Do đó yêu cầu bài toán tương đương với có hai nghiệm phân biệt thuộc Xét hàm trên Ta có Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu của bài toán Vậy có giá trị nguyên. Chọn A. Câu 67. Cho phương trình Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình có đúng nghiệm thuộc đoạn A. B. C. D. Lời giải. Phương trình tương đương với Đặt , với . Phương trình trở thành Phương trình có đúng nghiệm thuộc đoạn Do đó yêu cầu bài toán phương trình có nghiệm phân biệt (khác ) thuộc đoạn phương trình có nghiệm phân biệt thuộc Xét hàm trên Ta có Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu của bài toán Chọn C. Câu 68. Biết rằng khi thì phương trình có đúng nghiệm phân biệt thuộc khoảng . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. B. . C. D. Lời giải. Đặt . Phương trình trở thành O O Hình 1 Hình 2 Yêu cầu bài toán tương đương với: = Trường hợp 1: Phương trình có một nghiệm (cho ra một nghiệm ) và một nghiệm (cho ra bốn nghiệm ) (Hình 1). a Do . a Thay vào phương trình , ta được = Trường hợp 2: Phương trình có một nghiệm (cho ra hai nghiệm ) và một nghiệm (cho ra ba nghiệm ) (Hình 2). a Do . a Thay vào phương trình , ta được Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do Chọn D. Câu 69. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thuộc đoạn để số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là ? A. B. C. D. Lời giải. Phương trình Đặt (điều kiện ). Phương trình trở thành: = Ứng với mỗi thì phương trình cho ta các nghiệm có số vị trí biểu diễn trên đường tròn lượng giác là = Với thì phương trình cho ta các nghiệm có số vị trí biểu diễn trên đường tròn lượng giác là = Với thì phương trình cho ta các nghiệm có số vị trí biểu diễn trên đường tròn lượng giác là Do đó yêu cầu bài toán tương đương với phương trình có duy nhất một nghiệm thuộc khoảng hoặc phương trình có hai nghiệm là và a Trường hợp 1: Phương trình có đúng nghiệm thuộc . Với mọi ta có . Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu của trường hợp này a Trường hợp 2: Phương trình nhận và làm nghiệm vô lí. Vậy có giá trị. Chọn B. Câu 70. Cho phương trình Có bao nhiêu giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn A. B. C. D. Vô số. Lời giải. Điều kiện có nghiệm: Phương trình với Yêu cầu bài toán: Chọn C. Vấn đề 8. Kỹ thuật hàm đặc trưng Câu 71. Có bao nhiêu số nguyên để phương trình có nghiệm thực? A. B. C. D. Lời giải. Cộng thêm vào hai vế phương trình ta được Xét hàm trên Ta có hàm số đồng biến. Suy ra Chọn D. Câu 72. Cho phương trình Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm thuộc khoảng ? A. B. C. D. Vô số. Lời giải. Đặt vì nên Phương trình trở thành: Xét hàm trên Ta có hàm số đồng biến. Nhận thấy có dạng Xét hàm Khảo sát ta được Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi Chọn B. Câu 73. Cho phương trình Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm? A. B. C. D. Lời giải. Phương trình Xét hàm Hàm này đồng biến nên suy ra Đặt phương trình trở thành Xét hàm Ta tìm được Do đó, để phương trình đã cho có nghiệm Chọn C. Câu 74. Tập tất cả các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm là Giá trị của bằng A. B. C. D. Lời giải. Phương trình Xét hàm số với Hàm này đồng biến trên nên suy ra Đặt , vì Phương trình trở thành: Xét hàm với Ta có Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm Chọn D. Câu 75. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có đúng một nghiệm thuộc ? A. B. C. D. Lời giải. Phương trình tương đương với Xét hàm với Ta có đồng biến. Mà suy ra (vì ) Đặt , vì Khi đó phương trình trở thành Xét , có Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi Chọn D. Câu 76. Cho phương trình Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm ? A. B. C. D. Lời giải. Điều kiện: Phương trình đã cho tương đương với Xét hàm với Ta có hàm số đồng biến. Mà suy ra Vì phương trình đã cho có nghiệm Chọn B. Câu 77. Cho phương trình Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm ? A. B. C. D. Lời giải. Đặt Phương trình trở thành: Với vô nghiệm. Với Phương trình có nghiệm khi Với Đặt ta được Xét hàm trên đoạn ta được với mọi Suy ra phương trình có nghiệm Hợp hai trường hợp ta được giá trị nguyên của (vì lặp lại). Chọn A. Câu 78. Cho phương trình Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thộc đoạn để phương trình trên có đúng một nghiệm thuộc ? A. B. C. D. Lời giải. Điều kiện: Vì nên phương trình tương đương với Đặt vì Khi đó phương trình trở thành Xét hàm với Ta có Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi có giá trị. Chọn B. Câu 79. Số các giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm là A. B. C. D. Lời giải. Đặt ta có hệ Trừ vế theo vế ta được = ta được = ta được Vậy có số nguyên dương thỏa mãn. Chọn C. Câu 80. Số các giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm là A. B. C. D. Lời giải. Điều kiện: (Hình vẽ) Phương trình Đặt Phương trình trở thành Xét hàm với Ta có Suy ra Do đó để phương trình có nghiệm Chọn D. Cách 2. Bài toán cô lập một vế nên dùng MODE 7 nhanh hơn. Nhập hàm với Vấn đề 9. Tìm GTLN-GTNN của hàm số Câu 81. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số lần lượt là A. và B. và C. và D. và Lời giải. Vì Trên đoạn hàm số luôn tăng nên suy ra hay . Chọn D. Câu 82. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn lần lượt là A. và B. và C. và D. và Lời giải. Ta có Đặt vì Khi đó hàm số trở thành với Khảo sát hàm số trên đoạn , ta tìm được Chọn C. Câu 83. Gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số Giá trị của bằng A. B. C. C. Lời giải. Ta có hay Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là giá trị nhỏ nhất của hàm số là . Chọn D. Câu 84. Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số . Tính A. B. C. D. Lời giải. Ta có Do Chọn D. Câu 85. Giá trị nhỏ nhất của gần nhất với số nào sau đây? A. B. C. D. Lời giải. Ta có Do đó Đặt ta được Xét hàm trên đoạn ta được Chọn A. Lời giải trên có vẻ hợp lý nhưng xét kỹ thì không ổn vì (xét hàm). Khi đó Tương tự như trên, xét hàm trên đoạn ta được Chọn C. Nhận xét. Bài toán chỉ hay khi tự luận, nếu trắc nghiệm thì dùng MODE 7 rất nhanh. Câu 86. Gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số Tính A. B. C. D. Lời giải. Gọi là một giá trị của hàm số. Khi đó phương trình có nghiệm. Ta có Phương trình có nghiệm Chọn B. Câu 87. Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Khi đó, bằng A. B. C. D. Lời giải. Ta có Đặt điều kiện Khi đó Xét hàm trên đoạn Ta có Tính Chọn B. Câu 88. Biết giá trị nhỏ nhất của hàm số có dạng với là các số nguyên. Tính A. B. C. D. Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu, ta được Suy ra Chọn C. Câu 89. Cho hàm số Gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số. Khi đó giá trị của gần nhất với số nào sau đây? A. B. C. D. Lời giải. = Xét Dấu xảy ra khi = Lại có Dấu xảy ra khi Vậy Chọn B. Câu 90. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số lần lượt là A. và B. và C. và D. và Lời giải. Đặt Ta có = Dấu xảy ra = Dấu xảy ra Vậy giá trị nhỏ nhất bằng giá trị lớn nhất bằng Chọn D. Vấn đề 10. Bài toán GTLN-GTNN có chứa tham số Câu 91. Có bao nhiêu giá trị của tham số thực để hàm số có giá trị lớn nhất bằng  ? A. B. C. D. Lời giải. Ta có Phương trình có nghiệm Yêu cầu bài toán Chọn C. Câu 92. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thuộc để hàm số có giá trị nhỏ nhất nhỏ hơn ? A. B. C. D. Lời giải. Ta có Phương trình có nghiệm Yêu cầu bài toán Chọn B. Câu 93. Cho hàm số (với là tham số). Gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn Có bao nhiêu giá trị nguyên của để ? A. B. C. D. Lời giải. Ta có Do đó Đặt vì Hàm số trở thành Vì . Suy ra Suy ra có giá trị nguyên của thỏa. Chọn D. Câu 94. Gọi là tập tất cả các giá trị thực của tham số để giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng Hỏi tập có bao nhiêu phần tử? A. B. C. D. Lời giải. Ta có Vì Suy ra Yêu cầu bài toán Vậy Chọn B. Câu 95. Cho là các số thực thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng A. B. D. C. Lời giải. Ta có Áp dụng BĐT cộng mẫu, ta được Chọn B. Câu 96. Cho hàm số xác định trên thỏa mãn với mọi Với là hai số thực thay đổi thỏa mãn giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng A. B. C. D. Lời giải. Theo giả thiết, ta có Do đó Chọn C. Câu 97. Cho hai số thực thuộc và thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của bằng A. B. C. D. Lời giải. Ta có Suy ra Áp dụng BĐT cộng mẫu ta được Dấu xảy ra Chọn C. Nhận xét. Việc suy ra được chứng minh như sau: Với suy ra cùng thuộc Trên đoạn hàm đồng biến. = Nếu mâu thuẫn. = Tương tự cho = Trường hợp thỏa mãn. Câu 98. Cho là các số thực thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất trong tất cả các hàm số với A. B. C. D. Lời giải. Ta có Suy ra Dấu xảy ra Chọn C. Câu 99. Cho hai số thực dương thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng A. B. C. D. Lời giải. Ta có Xét hàm với Ta có hàm số đồng biến. Mà nên (vì ). Khi đó Khảo sát hàm số trên ta được Chọn A. Câu 100. Cho hai số thực dương thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng A. B. C. D. Lời giải. Ta có Xét hàm với Ta có hàm số đồng biến. Mà nên Khi đó Khảo sát ta tìm được Chọn A. ---------- HẾT ----------