10 dạng tích phân hay gặp trong các kì thi Đại học – Cao đẳng

       www.VNMATH.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 Trang 111 VIII. KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN ĐẠI HỌC Qua 7 phần chúng ta được tìm hiểu ở trên, các em sẽ nhận thấy trong tích phân ta có trong tay hai công cụ chính để giải quyết là ĐỔI BIẾN và TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN cùng một vài kĩ thuật để làm cho hai công cụ trên phát huy tác dụng như: Tách tích phân (dùng phương pháp đồng nhất hệ số, thêm bớt), kĩ thuật nhân, chia dưới dấu tích phân, kĩ thuật vi phân, dùng các công thức để biến đổi (công thức lượng giác, hằng đẳng thức), sử dụng tích phân liên kết ( quan sát để tìm tích phân liên kết, sử dụng cận để đổi biến, sử dụng các đẳng thức và tính chẵn lẻ của hàm số). Vì vậy chúng ta có thể tổng kết lại như sau : Khi đứng trước một bài toán tích phân các em sẽ có những hướng đi : TH1: Nếu dưới dấu tích phân có căn : +) Hướng tư duy 1: Đặt t bằng căn ( đã đúng cho tất cả các đề thi Đại Học – Cao Đẳng từ 2002 – 2013). Nếu không ổn hãy chuyển sang: +) Hướng tư duy thứ 2: Với tích phân 2( )I f ax bx c dx      mà 2ax bx c  ta biến đổi về dạng: *) 2 2m u thì đặt sinu m t ( cosu m t ) *) 2 2u m thì đặt cos mu t  ( sin mu t  ) *) 2 2u m thì đặt tanu m t ( cotu m t ) *) 2u u thì đặt 2sinu t ( 2cosu t ) Với tích phân m xI f dx m x             thì đặt cos 2x m t . CHÚ Ý: Với tích phân có dạng 2 dx x k     thì ta có thể không dùng tới phương pháp trên. Cụ thể ta biến đổi: 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ln( ) ... ( ) ( ) dx x x k dx d x x k x x k x k x x k x k x x k                            Nếu vẫn chưa ổn hãy chuyển sang : +) Hướng tư duy thứ 3: Nhân với lượng liên hợp tương ứng rồi quay về 2 hướng tư duy đầu. TH2 : Nếu dưới dấu tích phân có hàm lượng giác và hàm mũ có dạng sin u và ue mà u ax b  ( nghĩa là u không là hàm bậc nhất hoặc bậc không ) thì điều đầu tiên là đặt t u . Sau đó quay về TH1 hoặc TH3. TH3: Nếu dưới dấu tích phân xuất hiện hai trong bốn hàm: log, đa thức ( kể cả phân thức), lượng giác và mũ liên hệ với nhau bởi phép nhân thì đi theo : +) Hướng tư duy 1:Sử dụng tích phân từng phần theo thứ tự ưu tiên “u→dv” là : “log → đa thức → lượng giác → mũ” (nghĩa là anh nào đứng trước trong thứ tự thầy nêu thì đặt là u còn anh đứng sau là dv: b b b a a a udv uv vdu   ) ( Các em có thể có cách nhớ “hài hước” theo thứ tự “u→dv” là: “nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” ). Nếu vấn chưa ổn thì chuyển sang: +) Hướng tư duy 2: Sử dụng kĩ thuật vi phân ( 'du u dx (**) ) và đổi biến Nếu sử dụng (**) : +) theo chiều thuận (từ TráiPhải): các em phải đi tính đạo ĐẠO HÀM. +) theo chiều nghịch (từ Phải Trái): các em phải đi tính NGUYÊN HÀM. Các em có thể nhớ theo cách sau : “đưa vào vi phân thì tính NGUYÊN HÀM, đưa ra thì tính ĐẠO HÀM”. www.VNMATH.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 Trang 112 TH4: Nếu dưới dấu tích phân có dạng hữu tỉ: I  ( ) ( ) f x dx g x    +) Hướng tư duy 1: Nếu bậc ( )f x lớn hơn hoặc bằng bậc ( )g x . Thì thực hiện phép chia chuyển I về dạng: 1 2 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) r x r xI h x dx h x dx dx I I g x g x                     . Với 1I tính đơn giản và tính 2I sẽ chuyển sang: +) Hướng tư duy 2: Nếu bậc của ( )f x nhỏ hơn bậc ( )g x thì hãy đi theo thứ tự: *) Hướng tư duy 2.1: Nếu ( ) ln ? ( ) f x A dx AI A ax b g x ax b ax b a             *) Hướng tư duy 2.2: Nếu 2 ( ) ( ) f x Ax B g x ax bx c     thì biến đổi  2 2 2 'k ax bx c lAx BI dx ax bx c ax bx c               2 2 32 2 ( ) ln .d ax bx c dxk l k ax bx c l I ax bx c ax bx c                    và đi tính 3 2 dxI ax bx c      bằng cách chuyển sang Hướng tư duy 2.3: *) Hướng tư duy 2.3: Nếu 2 2 ( ) ( ) f x A dxI A g x ax bx c ax bx c          thì: **) Khả năng 1: 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 ln ? ( )( ) ( ) ( ) x xdx A AI A dx a x x x x a x x x x x x a x x x x                         **) Khả năng 2: 2 0 0 ? ( ) ( ) dx AI A a x x a x x           **) Khả năng 3: 2 2 0( ) A dxI a x x k      thì đặt 2 2 0 2 2 2 2 0 (1 tan ) tan cos ( ) (1 tan ) kdtdx k t dt x x k t t x x k k t             1 1 1 1 2 1 1 2 2 ( )(1 tan ) ? (1 tan ) AA k t AI dt dt a k t ka ka                *) Hướng tư duy 2.4: Nếu ( )g x có bậc lớn hơn 2 thì tìm cách đưa về 3 hướng tư duy 2.1, 2.2, 2.3 bằng các kĩ thuật: +) Đổi biến hoặc tách ghép, nhân, chia để giảm bậc. +) Đồng nhất hệ số theo thuật toán: 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2( ) ... ... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nm m n m n B x CAA A B x C B x Cf x n ax b cx dx e ax b ax b ax b cx dx e cx dx e cx dx e                       Sau đó quy đồng bỏ mẫu số rồi dùng tính chất “hai đa thức bằng nhau khi các hệ số tương ứng bằng nhau” từ đó ta sẽ tìm được các ,i jA B , jC ( 1, ; 1, )i m j n  hoặc có thể dùng cách chọn x để tìm các ,i jA B , jC . www.VNMATH.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 Trang 113 TH5: Nếu dưới dấu tích phân có dạng lượng giác: (sin ,cos )I f x x dx     thì: +) Hướng tư duy 1: Nếu sin .cosm nI x xdx     ( ,m n Z ) thì dựa vào tính chẵn, lẻ để đổi biến.Cụ thể: *) Nếu ,m n khác tính chẵn lẻ thì các em sẽ đặt t theo anh mang mũ chẵn. Cụ thể : **) m chẵn, n lẻ thì đặt sint x ** ) m lẻ, n chẵn thì đặt cost x *) Nếu ,m n cùng tính chẵn lẻ. Cụ thể : **) ,m n đều lẻ thì đặt sint x hoặc cost x (kinh nghiệm là nên đặt theo anh mang mũ lớn hơn). **) ,m n đều chẵn thì đặt tant x (hoặc cott x ) hoặc dùng công thức hạ bậc, biến đổi lượng giác. +) Hướng tư duy 2 : Nếu (sin ).cosI f x xdx     thì đặt sint x và (cos ).sinI f x xdx     thì đặt cost x +) Hướng tư duy 3: Nếu ( )(sin ,cos ) ( ) h xf x x g x  trong đó ( ), ( )h x g x chứa các hàm lượng giác thì: *) Hướng tư duy 3.1 : Ý nghĩ đầu tiên hãy tính '( )g x và nếu phân tích được ( ) . ( ) ( ( )). '( )h x u g x l g x g x  thì khi đó 1 2( ( )). '( )I udx r g x g x dx I I          và tính 2 ( ( )). '( )I r g x g x dx     bằng các đổi biến: ( Hướng tư duy này có thể áp dụng với chứa các hàm khác như loga, đa thức, mũ) Nếu việc phân tích ( )h x gặp khó khăn ta chuyển tới việc làm “thủ công” qua Hướng tư duy 3.2 *) Hướng tư duy 3.2: Nếu ( ), ( )h x g x là các hàm bậc nhất theo sin x và cos x thì dùng phương pháp đồng nhất hệ số. Cụ thể : **) ( ) a sin cos sin cos cos sin ( ) sin cos sin cos sin cos h x x b x c x d x c x d xA B g x c x d x c x d x c x d x          . Khi đó:  cos sin ( sin cos ) . ln sin cos ? sin cos sin cos c x d x d c x d xI A dx B dx A dx B A x B c x d x c x d x c x d x                          **) ( ) a sin cos sin cos cos sin 1 ( ) sin cos sin cos sin cos sin cos h x x b x e c x d x h c x d xA B C g x c x d x h c x d x h c x d x h c x d x h                  . Khi đó:   3ln sin cos .I Ax B c x d x h C I        và ta tính 3 sin cos dxI c x d x h      bằng hai cách: C1: Dùng công thức biến đổi lượng giác để chuyển về các công thức lượng giác trong bảng nguyên hàm . Nếu không ổn hãy chuyển sang : C2: Đặt tan 2 xt   2 2 1 dtdx t   và 2 2 2 2 1sinx ; cos 1 1 t tx t t      Sau đó quay về TH4 ( )t g x ( ), ( )h x g x www.VNMATH.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 Trang 114 *) Hướng tư duy 3.3: Nếu 2 (tan ) cos f xI dx x     (hoặc 2 (cot ) sin f xI dx x     ) thì đặt tant x (hoặc cott x ) Với trường hợp hay gặp : 2 2 (tan ). sin sin cos cos f x dxI a x b x x c x      (hoặc 2 2 (cot ). sin sin cos cos f x dxI a x b x x c x      ) thì biến đổi: 2 2 (tan ) cos ( tan tan ) f xI dx x a x b x c      sau đó đặt 2tan cos dxt x dt x    1 1 2 ( )f tI dt at bt c       Sau đó quay về TH4 *) Hướng tư duy 3.4: Nếu (sin cos ;sin cos )I f x x x x dx     đặt Sau đó quay về TH4 TH6: Khi gặp tích phân chỉ chứa hàm log hoặc chỉ chứa hàm mũ thì ta có các hướng đi sau : *) Hướng tư duy 1: Nếu có dạng (ln ) b a f uI dx u   thì đặt lnt u ( hoặc đặt (ln )t g u nghĩa là đặt t bằng một hàm theo ln u ). Nếu dưới dấu tích phân có mặt loga u thì các em nên chuyển về ln u bằng công thức : lnlog lna uu a  . *) Hướng tư duy 2: Nếu có dạng ( ) b x a I f e dx  thì đặt xt e ( hoặc t bằng một hàm theo xe ). TH7: Nếu dưới dấu tích phân có dấu trị tuyệt đối ( )I f x dx     thì tìm cách phá trị tuyệt đối bằng cách đi xét dấu của trong đoạn . Cụ thể: B1: Giải phương trình ( ) 0 ?if x x   và chọn các [ ; ]ix   rồi chuyển sang: B2: Lập bảng xét dấu: (Giả sử ta bảng xét dấu: ) B3: Ta dựa vào công thức ( ) ( ) ( )f x dx f x dx f x dx           (    ) để tách : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i x x x x I f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx                . Sau đó chuyển về sáu TH đầu. TH8: Khi bài toán yêu cầu tính diện tích hình phẳng hoặc thể tích vật thể tạo ra khi quay hình phẳng qua trục Ox, Oy thì các em cần nhớ kiến thức sau: Hình phẳng giới hạn bởi các đường : (nếu ) Nếu không dựa vào hình vẽ và cần phá trị tuyệt đối thì chuyển về TH6 . 2 (cos sin ) sin cos 1sin cos 2 dt x x dx t x x tx x           ( )f x  ;  ( ) ( ) ; y f x y g x x a x b a        2 2 0 ( ) ( ) (2*) ( ) ( ) (3*) b a b x a S f x g x dx V f x g x dx             2 0 ( ) ( ) b a b x a S f x dx V f x dx         ( ) 0y g x  www.VNMATH.com