Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 5: Số, chữ số, dãy số - Phần II

Kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng kề trước cộng với 4. Vậy các số có 3 chữ số chia hết cho 4 là: (996 – 100): 4 + 1 = 225 (số) Đáp số: 225 số Dạng 4. Tìm tổng các số hạng của dãy số: * Cách giải: Nếu các số hạng của dãy số cách đều nhau thì tổng của 2 số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối trong dãy đó bằ ng nhau. Vì vậy: Tổng các số hạng của dãy = tổng của 1 cặp 2 số hạng cách đều số hạng đầu và cuối x số hạng của dãy: 2 Bài tập vận dụng: Bài 1: Tính tổng của 100 số lẻ đầu tiên. Giải: Dãy của 100 số lẻ đầu tiên là: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +. . . + 197 + 199. Ta có: 1 + 199 = 200 3 + 197 = 200 5 + 195 = 200 ... Vậy tổng phải tìm là: 200 x 100: 2 = 10 000 Đáp số 10 000 Bài 2: Cho 1 số tự nhiên gồm các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 1983 được viết theo thứ tự liền nhau như sau: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13. . . 1980 1981 1982 1983 Hãy tính tổng tất cả các chữ số của số đó. (Đề thi học sinh giỏi toàn quốc năm 1983) Giải: Cách 1. Ta nhận xét: * các cặp số: - 0 và 1999 có tổng các chữ số là: 0 + 1 + 9 + 9 + 9 = 28 - 1 và 1998 có tổng các chữ số là: 1 + 1 + 9 + 9 + 8 = 28 - 2 và 1997 có tổng các chữ số là: 2 + 1 + 9 + 9 + 7 = 28 - 998 và 1001 có tổng các chữ số là: Tr­êng TiÓu häc Hîp Thanh B Tr­êng TiÓu häc Hîp Thanh B 8 9 + 9 + 8 + 1 + 1 = 28 - 999 và 1000 có tổng các chữ số là: 9 + 9 + 9 + 1 = 28 Như vậy trong dãy số 0, 1, 2, 3, 4, 5,. . . , 1997, 1998, 1999 Hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối đều có tổng bằng 28. Có 1000 cặp như vậy, do đó tổng các chữ số tạo nên dãy số trên là: 28 x 1000 = 28 000 * Số tự nhiên được tạo thành bằng cách viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1984 đến 1999 là * Vậy tổng các chữ số của số tự nhiên đã cho là: 28 000 – 382 = 27 618 Bài 3: Viết các số chẵn liên tiếp: 2, 4, 6, 8,. . . , 2000 Tính tổng của dãy số trên Giải: Dãy số trên 2 số chẵn liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị. Dãy số trên có số số hạng là: (2000 – 2): 2 + 1 = 1000 (số) 1000 số có số cặp số là: 1000: 2 = 500 (cặp) Tổng 1 cặp là: 2 + 2000 = 2002 Tổng của dãy số là: 2002 x 500 = 100100 ----------------------- * BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài 1: Tính tổng: a, 6 + 8 + 10 +. .. + 1999. b, 11 + 13 + 15 +. .. + 147 + 150 c, 3 + 6 + 9 +. .. + 147 + 150. Bài 2: Viết 80 số chẵn liên tiếp bắt đầu từ 72. Số cuối cùng là số nào? Bài 3: Có bao nhiêu số: a, Có 3 chữ số khi chia cho 5 dư 1? dư 2? b, Có 4 chữ số chia hết cho 3? c, Có 3 chữ số nhỏ hơn 500 mà chia hết cho 4? Bài 4: Khi đánh số thứ tự các dãy nhà trên một đường phố, người ta dùng các số lẻ Tr­êng TiÓu häc Hîp Thanh B Tr­êng TiÓu häc Hîp Thanh B 9 liên tiếp 1, 3, 5, 7,. .. để đánh số dãy thứ nhất và các số chẵn li ên tiếp 2, 4, 6, 8,. .. để đánh số dãy thứ hai. Hỏi nhà cuối cùng trong dãy chẵn của đường phố đó là số mấy, nếu khi đánh số dãy này người ta đã dùng 769 chữ cả thảy? Bài 5: Cho dãy các số chẵn liên tiếp 2, 4, 6, 8,. .. Hỏi số 1996 là số hạng thứ mấy của dãy này? Giải thích cách tìm. Bài 6: Tìm tổng của: a, Các số có hai chữ số chia hết cho 3; b, Các số có hai chữ số chia cho 4 dư 1; c, 100 số chẵn đầu tiên; d, 10 số lẻ khác nhau lớn hơn 20 và nhỏ hơn 40. Dạng 5. Tìm số hạng thứ n: Bài tập vận dụng: Bài 1: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7,... Hỏi số hạng thứ 20 của dãy là số nào? Giải: Dãy đã cho là dãy số lẻ nên các số liên tiếp trong dãy cách nhau 1 khoảng cách là 2 đơn vị. 20 số hạng thì có số khoảng cách là: 20 – 1 = 19 (khoảng cách) 19 số có số đơn vị là: 19 x 2 = 38 (đơn vị) Số cuối cùng là: 1 + 38 = 39 Đáp số: Số hạng thứ 20 của dãy là 39 Bài 2: Viết 20 số lẻ, số cuối cùng là 2001. Số đầu tiên là số nào? Giải: 2 số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị 20 số lẻ có số khoảng cách là: 20 – 1 = 19 (khoảng cách) 19 khoảng cách có số đơn vị là: 19 x 2 = 38 (đơn vị) Số đầu tiên là: 2001 – 38 = 1963 Đáp số : số đầu tiên là 1963. Công thức: a, Cuối dãy: n = Số đầu + khoảng cách x (n – 1) b, Đầu dãy: n = Số cuối – khoảng cách x (n – 1) ----------------------- * BÀI TẬP VỀ NHÀ: Tr­êng TiÓu häc Hîp Thanh B Tr­êng TiÓu häc Hîp Thanh B 10 Bài 1: Viết các số chẵn bắt đầu từ 2. Số cuối cùng là 938. Dãy số có bao nhiêu số? Bài 2: Tính: 2 + 4 + 6 +. .. + 2000. Bài 3: Cho dãy số: 4, 8, 12,... Tìm số hạng 50 của dãy số. Bài 4: Viết 25 số lẻ liên tiếp số cuối cùng là 2001. Hỏi số đầu tiên là số nào? Bài 5: Tính tổng: a, 6 + 8 + 10 +. .. + 2000 b, 11 + 13 + 15 +. .. + 1999. c, 3 + 6 + 9 +. .. + 147 + 150. Bài 6: Viết 80 số chẵn liên tiếp bắt đầu từ 72. Hỏi số cuối cùng là số nào? Bài 7: Cho dãy số gồm 25 số hạng: .. . , 146, 150, 154. Hỏi số đầu tiên là số nào? Dạng 6. Tìm số chữ số biết số số hạng Bài tập vận dụng: Bài 1: Cho dãy số 1, 2, 3, 4,. .., 150. Dãy này có bao nhiêu chữ số Giải: Dãy số 1, 2, 3,. .., 150 có 150 số. Trong 150 số có + 9 số có 1 chữ số + 90 số có 2 chữ số + Các số có 3 chữ số là: 150 – 9 – 90 = 51 (chữ số) Dãy này có số chữ số là: 1 x 9 + 2 x 90 + 3 x 51 = 342 (chữ số) Đáp số: 342 chữ số Bài 2: Viết các số chẵn liên tiếp tữ 2 đến 1998 thì phải viết bao nhiêu chữ số? Giải: Giải: Dãy số: 2, 4,. .., 1998 có số số hạng là: (1998 – 2): 2 + 1 = 999 (số) Trong 999 số có: 4 số chẵn có 1 chữ số 45 số chẵn có 2 chữ số 450 số chẵn có 3 chữ số Các số chẵn có 4 chữ số là: 999 – 4 – 45 – 450 = 500 (số) Số lượng chữ số phải viết là: 1 x 4 + 2 x 45 + 3 x 450 + 4 x 500 = 3444 (chữ số) đáp số: 3444 chữ số Tr­êng TiÓu häc Hîp Thanh B Tr­êng TiÓu häc Hîp Thanh B 11 Ghi nhớ: Để tìm số chữ số ta: + Tìm xem trong dãy số có bao nhiêu số số hạng + Trong số các số đó có bao nhiêu số có 1, 2, 3, 4,. .. chữ số Dạng 7. Tìm số số hạng biết số chữ số Bài tập vận dụng: Bài 1: Một quyển sách coc 435 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang? Giải: Để đánh số trang sách người ta bắt đầu đánh tữ trang số 1. Ta thấy để đánh số trang có 1 chữ số người ta đánh mất 9 số và mất: 1 x 9 = 9 (chữ số) Số trang sách có 2 chữ số là 90 nên để đánh 90 tra ng này mất: 2 x 90 = 180 (chữ số) Đánh quyển sách có 435 chữ số như vậy chỉ đến số trang có 3 chữ số. Số chữ số để đánh số trang sách có 3 chữ số là: 435 – 9 – 180 = 246 (chữ số) 246 chữ số thì đánh được số trang có 3 chữ số là: 246: 3 = 82 (trang) Quyển sách đó có số trang là: 9 + 90 + 82 = 181 (trang) đáp số: 181 trang Bài 2: Viết các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ số 87. Hỏi nếu phải viết tất cả 3156 chữ số thì viết đến số nào? Giải: Từ 87 đến 99 có các số lẻ là: (99 – 87): 2 + 1 = 7 (số) Để viết 7 số lẻ cần: 2 x 7 = 14 (chữ số) Có 450 số lẻ có 3 chữ số nên cần: 3 x 450 = 1350 (chữ số) Số chữ số dùng để viết các số lẻ có 4 chữ số là: 3156 – 14 – 1350 = 1792 (chữ số) Viết được các số có 4 chữ số là: 1792: 4 = 448 (số) Viết đến số: 999 + (448 – 1) x 2 = 1893 Dạng 8. Viết liên tiếp một nhóm chữ số hoặc chữ cái Bài tập vận dụng: Bài 1: Viết liên tiếp các chữ cái A, N, L, Ư, U thành dãy AN LƯU, AN LƯU,... Chữ cãi thứ 1998 là chữ cái gì? Tr­êng TiÓu häc Hîp Thanh B Tr­êng TiÓu häc Hîp Thanh B 12 Giải: Để viết 1 nhóm AN LƯU người ta phải viết 5 chữ cái A, N, L, Ư, U. Nếu xếp 5 chữ cái ấy vào 1 nhóm ta có: Chia cho 5 không dư là chữ cái U Chia cho 5 dư 1 là chữ cái A Chia cho 5 dư 2 là chữ cái N Chia cho 5 dư 3 là chữ cái L Chia cho 5 dư 4 là chữ cái Ư Mà: 1998: 5 = 339 (nhóm) dư 3 Vậy chữ cái thứ 1998 là chữ cái L của nhóm thứ 400 Bài 2: Một người viết liên tiếp nhóm chữ Tổ quốc Việt Nam thành dãy Tổ quốc việt nam Tổ quốc việt nam... a, Chữ cái thứ 1996 trong dãy là chữ gì? b, Người ta đếm được trong dãy có 50 chữ T thì dãy đó có bao nhiêu chữ Ô? bao nhiêu chữ I c, Bạn An đếm được trong dãy có 1995 chữ Ô. Hỏi bạn ấy đếm đúng hay sai? Giải thích tại sao? d, Người ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự: Xanh, đỏ, tím, vàng; xanh, đỏ,. .. Hỏi chữ cái thứ 1995 trong dãy tô màu gì? Giải: a, Nhóm chữ TỔ QUỐC VIỆT NAM có 13 chữ cái. Mà 1996: 13 = 153 (nhóm) dư 7. Như vậy kể từ chữ cái đầu tiên đến chữ cái thứ 1996 trong dãy người ta đã viết 153 lần nhóm chữ TỔ QUỐC VIỆT NAM và 7 chữ cái tiếp theo là: TỔ QUỐC V. Chữ cái thứ 1996 trong dãy là chữ V. b, Mỗi nhóm chữ TỔ QUỐC VIỆT NAM có 2 chữ T và cũng có 2 chữ Ô và 1 chữ I. vì vậy, nếu người ta đếm được trong dãy có 50 chữ T thì dãy đó cũng phải có 50 chữ Ô và có 25 chữ I. c, Bạn đó đã đếm sai, vì số chữ Ô trong dãy phải là số chẵn d, Ta nhận xét: các màu Xanh, đỏ, tím, vàng gồm có 4 màu. Mà 1995: 4 = 498 (nhóm) dư 3. Những chữ cái trong dãy có số thứ tự là số chia cho 4 dư 3 thì được tô màu tím Vậy chữ cái thứ 1995 trong dãy được tô màu tím. ----------------------- * BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài 1: Dãy số lẻ từ 9 đến 1999 có bao nhiêu chữ số Bài 2: Viết các số chẵn liên tiếp bắt đầu từ 60. Hỏi nếu viết 2590 chữ số thì viết đến số nào? Bài 3: Người ta viết TOÁN TUỔI THƠ thành dãy mỗi chữ số viết 1 màu theo thứ tự xanh, đỏ, vàng. Hỏi chữ thứ 2000 là chữ gì, màu gì? Bài 4: Một người vi ết liên tiếp nhóm chữ CHĂM HỌC CHĂM LÀM thành dãy Tr­êng TiÓu häc Hîp Thanh B Tr­êng TiÓu häc Hîp Thanh B 13 CHĂM HỌC CHĂM LÀM CHĂM HỌC CHĂM LÀM... a, Chữ cái thứ 1000 trong dãy là chữ gì? b, Nếu người ta đếm được trong dãy có 1200 chữ H thì đếm được chữ A? c, Một người đếm được trong dãy có 1996 chữ C. Hỏi người đó đếm đúng hay sai? Giải thích tại sao? Bài 5: a, Có bao nhiêu số chẵn có4 chữ số? b, Có bao nhiêu số có 3 chữ số đều lẻ? c, Có bao nhiêu số có 5 chữ số mà trong đó có ít nhất hai chữ số giống nhau? Bài 6: cho dãy số tự nhiên liên tiếp: 1, 2, 3, 4, 5,. .., 1999 Hỏi dãy số có bao nhiêu chữ số? Bài 7: Cho dãy số tự nhiên liên tiếp: 1, 2, 3, 4, 5,..., x. Tìm x biết dãy số có 1989 chữ số Bài 8: Cho dãy số chẵn liên tiếp: 2, 4, 6, 8, 10,..., 2468. a, Hỏi dãy có bao nhiêu chữ số? b, Tìm chữ số thứ 2000 của dãy đó. Bài 9: Cho dãy số 1,1; 2,2; 3,3;...; 108,9; 110,0 a, Dãy số này có bao nhiêu số hạng? b, Số hạng thứ 50 của dãy là số hạng nào? Bài 10: Cho dãy 3, 18, 48, 93, 153,... a, Tìm số hạng thứ 100 của dãy. b, Số 11703 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy